Primer teorema fundamental del cálculo: $$ \frac{d}{dx} \left[\int_a^x f(t)\,dt) \right]=f(x),\qquad x \in (a,b). $$ Ningún libro de texto dice que esto pueda generalizarse al escenario en el que $x$ es inferior a $a$ y donde $f$ es continua para $x<a$ . De hecho, $x$ puede ser cualquier cosa $a$ siempre que $f$ es continua en las regiones en cuestión. ¿Por qué no se generaliza esto en ningún libro de texto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es una afirmación audaz que sin libro de texto contiene la generalización deseada, pero me inclino a darte la razón, ya que nunca he visto ninguno.
La razón de esta "omisión" es sencilla: La integral (de Riemann) $\int_a^b f(t)dt$ se define para las funciones $f : [a,b] \to \mathbb R$ en un intervalo $[a,b]$ y aquí tenemos $a < b$ .
Si examinamos críticamente esta construcción, veremos que en la mayoría de los libros de texto ni siquiera $\int_a^a f(t)dt$ y esta integral es necesaria para que $$F(x) = \int_a^x f(t)dt$$ está bien definida para $x = a$ . Parece que la mayoría de los autores asumen tácitamente que $\int_a^a f(t)dt = 0$ lo cual, por supuesto, está justificado. En algunos libros de texto se trata esencialmente de la construcción general de la integral si aceptamos considerar $[a,a]$ como intervalo (degenerado). Un ejemplo es "Baby Rudin": Una partición de un intervalo $[a,b]$ es una secuencia finita de puntos $x_i$ tal que $a = x_0 \le x_1 \le \ldots \le x_{n-1} \le x_n = b$ . Trabajando con este concepto vemos que $\int_a^a f(t)dt = 0$ . Sin embargo, en la mayoría de los libros de texto se exige que $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$ Por lo tanto $\int_a^a f(t)dt$ no está cubierto por la construcción, y entonces $\int_a^a f(t)dt = 0$ se convierte en definición . Hay buenas razones para hacerlo.
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Para todos $v \in (u,w)$ tenemos $$(*) \quad \int_u^w f(t)dt = \int_u^v f(t)dt + \int_v^w f(t)dt .$$ Esto se generaliza a todos los $v \in [u,w]$ si fijamos $\int_a^a f(t)dt = 0$ .
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La función anterior $F : (a,b] \to \mathbb R$ es continua. Tenemos $\lim_{x\to a} F(x) = 0$ y, por tanto, una extensión continua a $[a,b]$ se obtiene si fijamos $F(a) = 0$ .
Pasamos ahora a su pregunta. Integrales de la forma $\int_c^d f(t)dt$ para $c > d$ no se tienen en cuenta en muchos libros de texto, por lo que no es de extrañar que su generalización no se produzca.
Por supuesto, uno suele define $$(**) \quad \int_c^d f(t)dt = - \int_d^c f(t)dt. $$ Esto tiene buenas razones. De hecho, queremos que $(*)$ se cumple para todo $u,v,w$ en el intervalo en el que $f$ vidas, y esto impone $(**)$ . Véase, por ejemplo ¿Por qué una integral cambia de signo al voltear los límites? También tiene una agradable interpretación intuitiva. Si integramos desde $d$ a $c$ entonces vamos en dirección positiva desde $d$ a $c$ y cualquier partición $P = (x_0,x_1,\ldots,x_n)$ de $[d,c]$ produce los factores $d_i =(x_{i+1}-x_i)$ en la suma de Riemann. Si lo hacemos en el otro sentido, obtenemos los factores $(x_i - x_{i+1}) = -d_i$ . Esto conduce a un cambio de signo de toda la suma de Riemann.
Para cualquier función integrable $f : [a,b] \to \mathbb R$ y cualquier $r \in [a,b]$ ahora podemos definir $$F_r : [a,b] \to \mathbb R, F_r(x) = \int_r^x f(t)dt .$$
Para una $f$ entonces tenemos $F_r'(x) = f(x)$ para todos $x \in [a,b]$ (véase el comentario de mathworker21). De hecho, se trata de un generalización trivial del teorema estándar que dice que $F'_a(x) = f(x)$ para todos $x \in [a,b]$ . Simplemente tenga en cuenta que $F_r(x) = F_a(x) - F_a(r)$ .
