Generalización de la derivada de la función de acumulación: 1er teorema fundamental del cálculo

Question

Primer teorema fundamental del cálculo: $$\frac{d}{dx} \left[\int_a^x f(t)\,dt) \right]=f(x),\qquad x \in (a,b).$$ Ningún libro de texto dice que esto pueda generalizarse al escenario en el que $x$ es inferior a $a$ y donde $f$ es continua para $x<a$ . De hecho, $x$ puede ser cualquier cosa $a$ siempre que $f$ es continua en las regiones en cuestión. ¿Por qué no se generaliza esto en ningún libro de texto?

Answer 1

Es una afirmación audaz que sin libro de texto contiene la generalización deseada, pero me inclino a darte la razón, ya que nunca he visto ninguno.

La razón de esta "omisión" es sencilla: La integral (de Riemann) $\int_a^b f(t)dt$ se define para las funciones $f : [a,b] \to \mathbb R$ en un intervalo $[a,b]$ y aquí tenemos $a < b$ .

Si examinamos críticamente esta construcción, veremos que en la mayoría de los libros de texto ni siquiera $\int_a^a f(t)dt$ y esta integral es necesaria para que $$F(x) = \int_a^x f(t)dt$$ está bien definida para $x = a$ . Parece que la mayoría de los autores asumen tácitamente que $\int_a^a f(t)dt = 0$ lo cual, por supuesto, está justificado. En algunos libros de texto se trata esencialmente de la construcción general de la integral si aceptamos considerar $[a,a]$ como intervalo (degenerado). Un ejemplo es "Baby Rudin": Una partición de un intervalo $[a,b]$ es una secuencia finita de puntos $x_i$ tal que $a = x_0 \le x_1 \le \ldots \le x_{n-1} \le x_n = b$ . Trabajando con este concepto vemos que $\int_a^a f(t)dt = 0$ . Sin embargo, en la mayoría de los libros de texto se exige que $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$ Por lo tanto $\int_a^a f(t)dt$ no está cubierto por la construcción, y entonces $\int_a^a f(t)dt = 0$ se convierte en definición . Hay buenas razones para hacerlo.

1. Para todos $v \in (u,w)$ tenemos $$(*) \quad \int_u^w f(t)dt = \int_u^v f(t)dt + \int_v^w f(t)dt .$$ Esto se generaliza a todos los $v \in [u,w]$ si fijamos $\int_a^a f(t)dt = 0$ .

2. La función anterior $F : (a,b] \to \mathbb R$ es continua. Tenemos $\lim_{x\to a} F(x) = 0$ y, por tanto, una extensión continua a $[a,b]$ se obtiene si fijamos $F(a) = 0$ .

Pasamos ahora a su pregunta. Integrales de la forma $\int_c^d f(t)dt$ para $c > d$ no se tienen en cuenta en muchos libros de texto, por lo que no es de extrañar que su generalización no se produzca.

Por supuesto, uno suele define $$(**) \quad \int_c^d f(t)dt = - \int_d^c f(t)dt.$$ Esto tiene buenas razones. De hecho, queremos que $(*)$ se cumple para todo $u,v,w$ en el intervalo en el que $f$ vidas, y esto impone $(**)$ . Véase, por ejemplo ¿Por qué una integral cambia de signo al voltear los límites? También tiene una agradable interpretación intuitiva. Si integramos desde $d$ a $c$ entonces vamos en dirección positiva desde $d$ a $c$ y cualquier partición $P = (x_0,x_1,\ldots,x_n)$ de $[d,c]$ produce los factores $d_i =(x_{i+1}-x_i)$ en la suma de Riemann. Si lo hacemos en el otro sentido, obtenemos los factores $(x_i - x_{i+1}) = -d_i$ . Esto conduce a un cambio de signo de toda la suma de Riemann.

Para cualquier función integrable $f : [a,b] \to \mathbb R$ y cualquier $r \in [a,b]$ ahora podemos definir $$F_r : [a,b] \to \mathbb R, F_r(x) = \int_r^x f(t)dt .$$

Para una $f$ entonces tenemos $F_r'(x) = f(x)$ para todos $x \in [a,b]$ (véase el comentario de mathworker21). De hecho, se trata de un generalización trivial del teorema estándar que dice que $F'_a(x) = f(x)$ para todos $x \in [a,b]$ . Simplemente tenga en cuenta que $F_r(x) = F_a(x) - F_a(r)$ .