¿Es correcta esta página de la wikipedia sobre dimensión topológica?

Question

Wikipedia afirma:

Queremos que la dimensión de un punto sea $0$ y un punto tiene el límite vacío así que empezamos con

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Entonces, inductivamente, $ind(X)$ es el más pequeño $n$ tal que, para cada ${ x\in X}$ y todo conjunto abierto $U$ que contiene $x$ existe un conjunto abierto $V$ que contiene $x$ tal que el cierre de $V$ es un subconjunto de $U$ y el límite de $V$ tiene una pequeña dimensión inductiva menor o igual a $n  1$ . (Si $X$ es un euclidiano $n$ -espacio dimensional, $V$ puede elegirse como una bola n-dimensional centrada en $x$ .)

En primer lugar, ¿es normal decir que la frontera de un punto está vacía? En $\mathbb R$ Pensaba que el interior de un punto está vacío y, por tanto, el límite es igual al propio punto.

En segundo lugar, el requisito de que el "límite de $V$ tiene una pequeña dimensión inductiva menor o igual a $n  1$ ", me sugiere que el concepto está mal definido, porque para cualquier punto único $x$ cualquier conjunto abierto que contenga $x$ (excepto todo el espacio) tiene una frontera que no es vacía.

Answer 1

Esta definición supone que cuando se define la dimensión inductiva pequeña de un punto, se considera la topología inducida sobre ese punto, por lo que se considera el punto como un espacio topológico en sí mismo, un singleto. Un singleton sólo tiene una topología, y es la discreta, por lo que la frontera de un punto es, en efecto, vacía. En términos más generales, la frontera de cualquier conjunto finito está vacía, suponiendo que el espacio del que partimos sea al menos T $_1$ ya que entonces la topología inducida sobre un conjunto finito es la discreta, y todo conjunto en la topología discreta tiene una frontera vacía. Esto debería responder a las dos preguntas que planteas.

Sí, cuando tratamos de definir la pequeña dimensión inductiva de la frontera se puede suponer que: Primero, consideramos la topología inducida en el límite (así que consideramos el límite como un espacio topológico en sí mismo, olvidando el espacio en el que puede ser un subconjunto), y luego Segundo, aplicamos la definición inductiva en este subespacio.

Reconozco que yo mismo estaba confundido con la afirmación "un punto tiene un límite vacío" y mi confusión se aclaró sólo después de leer la respuesta de Theo Bendit, cuyo enlace he incluido más arriba en un comentario. Pero en retrospectiva, la afirmación es correcta y "debería" ser obvia, dado que no hace referencia a ningún espacio mayor en el que pudiera situarse ese punto. Así que debe entenderse que el punto se considera como un espacio topológico en sí mismo (en cuyo caso, como ya se ha señalado, sí tiene una frontera vacía).