¿Cuál es la probabilidad de mi suma alcanzar exactamente 10?

Question

Me tira un dado de 6 caras (con valores: 0,1,2,3,4,5) múltiples veces y añadir a cada valor a una suma, que es 0 en el comienzo. ¿Cuál es la probabilidad de mi suma alcanzar exactamente 10, 11, 12, 13, 14? Después de llegar a una cantidad solicitada, la suma volverá a su valor 0 original.

Por ejemplo: 5 + 5 = 10 y luego la suma vuelve a 0. También, la probabilidad de cada número en el dado es diferente (no es un dado justo).

Answer 1

Vale la pena generalizar. Vamos a calcular el % de probabilidad $p(n)$que nunca llegar a $n$ * cualquier número entero * $n$.

Desde que empezamos en cero, tenemos $p(0)=1$, $p(n)=0$ $n<0$.

Mayor $n$, por acondicionamiento en el valor previamente tomado conseguimos $$p(n)=\sum_{j=0}^5 p(n-j)/6,$ $ y si resuelves esta ecuación recursiva %#% llegar $n=10$ $ #%

Para valores grandes de $$p(10)={3327696\over 9765625}=.34076.$ el % de probabilidad $n$será muy cerca de $p(n)$, ya que cada tiro de dado agrega tres (en promedio) al total.

Answer 2

(Nota: esta es la solución al problema en su forma original.)

Indica que la probabilidad que nos golpeó $q(n)$, dado que la suma momentánea es $10$ y no hemos tocado $n$ antes de la $10$. Entonces $$q(10)=1;\qquad q(n)=0\quad(11\leq n\leq14)\ .$ $ por otra parte tenemos el siguiente hacia atrás recursividad: %#% $ de #% esta fórmula refleja el hecho de que el siguiente avance es uno de los $$q(n)=\sum_{k=1}^5 {1\over5} q(n+k)\qquad(n=9,8,7,\ldots)\ .$ con igual probabilidad.

Realizar la repetición da %#% $ #% según Byron Schmuland con otro argumento.