Problema de divisibilidad de números pares

Question

La cuestión es que para la ecuación $x = 25 + 5^k$ donde $k$ es un número entero aleatorio positivo, puede $x$ sea divisible por $9$ para cualquier $k$ ?

Mi primera intuición es que como $25$ = impar y $5^k$ =impar entonces $x$ debe ser un número par. Regla de divisibilidad por $9$ establece que la suma de dígitos debe ser divisible por $9$ .

Desde $x$ es un número par :

La serie : $x = 18 , 36 , 54 , 72... $

¿Hay alguna $k$ valor que corresponde a cualquier número de esta serie? He intentado escribir un script en Python y parece que no hay ninguno. ¿Cuál es la razón?

Answer 1

Tiene razón en que $25+5^k$ es divisible por $2$ ,

pero eso no dice si $25+5^k$ es divisible por $9$ .

Si comprueba $25+5^k$ para $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$ , encontrará que $25+5^\color{red}5$ es divisible por $9$ .

$25+5^k$ crece mucho más rápido que $18k$ .

Answer 2

Quiere resolver $25+5^k\equiv_9 0$ esto equivale a $$5^{k-2}\equiv_9 -1\equiv_9 5^3\\5^{k-5}\equiv_9 1$$

También tenemos $\text{ord}_9(5)=6$ Así que $6\mid k-5$ . Por lo tanto $$25+5^{5+6l}\equiv_9 0$$ Eso es, $k=5+6l$ con $l$ cualquier número entero no negativo es una solución general.

Los primeros valores:

$$\begin{array} {|r|r|}\hline l & k & 25+5^{5+6l} \\ \hline 0 & 5 & 3150 \\ \hline 1 & 11 & 48828150 \\ \hline 2 & 17 & 762939453150 \\ \hline 3 & 23 & 11920928955078150 \\ \hline 4 & 29 & 186264514923095703150 \\ \hline \end{array}$$

Answer 3

Estos crecen realmente rápido y puede que necesites un paquete de aritmética extendida con python para encontrar muchos de ellos. Aquí están los primeros, hasta k<100, y ya puedes ver el problema con la impresión de x. El código python esencial es

for k in range (100):
    if (25+5^k)%9 == 0:
        print("k=",k, 25+5^k, end=",  ")

k= 5 3150, k= 11 48828150, k= 17 762939453150, k= 23 11920928955078150, k= 29 186264514923095703150, k= 35 2910383045673370361328150, k= 41 454747350886411895751953150, k= 47 710542735760100185871124267578150, k= 53 11102230246251565404236316680908203150, k= 59 173472347597680709441192448139190673828150, k= 65 2710505431213761085018632002174854278564453150, k= 71 42351647362715016953416125033982098102569580078150, k= 77 661744490042422139897126953655970282852649688720703150, k= 83 10339757656912845935892608650874535669572651386260986328150, k= 89 161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953150, k= 95 2524354896707237777317531408904915934954260592348873615264892578150