Demostrando que $\lim \limits_{x \to a} f(g(x)) = f \left(\lim \limits_{x \to a}g (x) \right) $

Question

Los textos que estoy usando presentan, como un teorema, que

$$ \lim \limits_{x \to a} g (x) = b \wedge f\in\mathcal {C}^0(b) \Rightarrow \lim \limits_{x \to a} f(g(x)) = f \left(\lim \limits_{x \to a}g (x) \right) \text{;}$$

pero no se ofrece ninguna prueba (aparte de "tiene sentido intuitivo"), y estoy perplejo sobre qué enfoque adoptar para demostrarlo. Creo que me estoy perdiendo algo. ¿Existe una prueba directa que evite la aplicación de la fuerza bruta del $\varepsilon$ - $\delta$ definición del límite?

Answer 1

Creo que es bueno ver el $\varepsilon$ - $\delta$ definición también en acción.

Fijar $\varepsilon \gt 0$ . Desde $f$ es continua en $b$ existe alguna $\delta \gt 0$ tal que $$ y \in (b - \delta, b+\delta) \quad \implies \quad f(y) \in (f(b) - \varepsilon, f(b) + \varepsilon). $$ Ahora que $\lim \limits_{x \to a} \ g(x) = b$ por definición, existe alguna $\gamma \gt 0$ tal que $$ x \in (a - \gamma, a + \gamma) \smallsetminus \{ a \} \quad\implies\quad g(x) \in (b - \delta, b+\delta). $$ Combinando estas dos afirmaciones, obtenemos que $$ x \in (a - \gamma, a + \gamma) \smallsetminus \{ a \} \quad\implies\quad g(x) \in (b - \delta, b+\delta) \quad\implies\quad f(g(x)) \in (f(b) - \varepsilon, f(b)+\varepsilon) . $$ Puesto que para cada $\varepsilon \gt 0$ demostramos la existencia de tal $\gamma \gt 0$ podemos concluir que $\lim \limits_{x \to a} \ f(g(x)) = f(b)$ .