Función creciente integrable

Question

Sea $f$ Entonces, ¿existe una función medible $h$ tal que $h$ está aumentando, $\lim _{x\to \infty } h(x)=\infty $ y $fh$ ¿es integrable?

Supongo que cuando $n$ es grande, $h_n(x):=\log{\log {\cdots \log{x}}}=\log^n{x}$ satisface. Pero no puedo probarlo.

Answer 1

Suponiendo que todas estas funciones estén en $\mathbb{R}^d$ , $h$ no puede ser lebesgue integrable si va a $\infty$ a medida que nos alejamos del origen. Si $f$ es integrable, sabemos que $\int_{B^c}|f|<\epsilon$ para una bola suficientemente grande $B$ alrededor del origen. Tomemos una secuencia de tales bolas crecientes $\{B_n\}$ tal que la integral de $|f|$ en $B_n-B_{n-1}$ es inferior a $\epsilon/2^n$ . Ahora, construye $h$ tal que $h$ es igual a $2^{n/2}$ en la región comprendida entre $B_{n-1}$ y $B_n$ . Defina $h$ ser $0$ en $B_1$ . Esta función $h$ es creciente y va al infinito a medida que nos alejamos del origen. También, $fh$ es integrable como la suma $\sum \frac{\epsilon}{2^{n/2}}$ es finito.

Si todas estas funciones están definidas en $\mathbb{R}$ y queremos $h$ sea creciente en el sentido habitual, entonces podemos simplemente tomar $h'$ en lugar de $h$ donde $h'=h$ para la recta real positiva, y $h'=-h$ para la recta real negativa. $h'$ es ahora creciente y cumple las demás condiciones.

Answer 2

Se puede escribir una función de este tipo $h$ explícitamente en términos de $f$ . Primero supongamos que $|f|>0$ . definir $h(x)=\frac 1 {\sqrt {\int_x^{\infty} |f|}}$ si $x \geq 1$ y $0$ de lo contrario. Claramente. $h(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ . Ahora dejemos que $g(x)= {\int_x^{\infty} |f|}$ . Entonces $\int |f|h =\int_0^{\infty} \frac {-g'(x)} {\sqrt {{g(x)}}}=2\sqrt {g(1)}$ así que $|f|h$ es integrable. Para el caso general sustituir $f$ por $|f|+e^{-|x|}$ . La función $h$ que funciona para esto también funciona para $f$ .