Es de $T^1 S^5$ de manera abstracta diffeomorphic $S^4\times S^5$?

Question

Uno puede pedir

Cuando es de $T^1 S^n$, la unidad de la tangente paquete de $S^n$, de manera abstracta diffeomorphic $S^{n-1}\times S^n$?

Incluso para $n$, la respuesta es nunca. Esto es debido a que $T^1 S^{2n}$ tiene de torsión en su cohomology anillo, pero $S^{2n-1}\times S^{2n}$ no, por lo que $T^1 S^{2n}$ no es ni siquiera homotopy equivalente a $S^{2n-1}\times S^{2n}$.

Para impar $n$, la respuesta es más delicado.

Desde $S^1$, $S^3$, y $S^7$ se parallelizable, $T^1 S^1$, la unidad de la tangente paquete $S^1$, es diffeomoprhic $S^0\times S^1$. Del mismo modo, $T^1 S^3$ es diffeomorphic $S^2\times S^3$. El mismo argumento muestra $T^1 S^7$ es diffeomorphic $ S^6\times S^7$. En todos estos casos, una mucho más fuerte afirmación es verdadera: $T^1 S^{k}\cong S^{k-1}\times S^k$ como paquetes de más de $S^k$ ($k=1,3,7$.)

Así, el primer caso en donde no sé la respuesta es $T^1 S^5$. La primera cosa a decir es que $S^5$ es no parallelizable, por lo que $T^1 S^5$ no es paquete isomorfo a $S^4\times S^5$. Puedo demostrar que $T^1 S^5$ y $S^4\times S^5$ tienen el mismo cohomology de los anillos y que sus respectivos tangente paquetes tienen el mismo Stiefel-Whitney, Pontrjagin, y Euler clases. Así que ninguno de los "habituales" invariantes de distinguir. (Más en general, creo que puedo demostrar que $T^1 S^{2n-1}$ y $S^{2n-2}\times S^{2n-1}$ tiene isomorfo cohomology de los anillos y la misma característica de las clases).

Por otro lado, un papel De Sapio y Walschap, "Diffeomorphism de espacio total y la equivalencia de paquetes" demuestra que $TS^n$ y $\mathbb{R}^n\times S^n$ no de manera abstracta diffeomorphic, a menos que también sean paquete isomorfo. Así, sabemos que $TS^5$ es no diffeomoprhic a $\mathbb{R}^5\times S^5$. Por lo tanto, si $T^1 S^5$ y $S^4\times S^5$ son diffeomorphic, entonces no diffeomorphism se puede extender a un diffeomorphism de $TS^5$ y $\mathbb{R}^5\times S^5$.

No estoy seguro de lo difícil de la respuesta para $S^5$, en comparación con cualquier otro $S^{k}$ con $k$ impar $\neq 1,3,7$, así que os pido $S^5$ pregunta por separado:

Es de $T^1 S^5$ de manera abstracta diffeomorphic $S^4\times S^5$?

Answer 1

Resulta que la respuesta es no. Más específicamente, $T^1 S^n$ es abstracta diffeomorphic $S^{n-1}\times S^{n}$ si $T^1^n$ es bundle isomorfo a $S^{n-1}\times S^n$.

Este es un simple corolario al Teorema 3.6 se encuentran en

Wu-Yi Hsiang y J. C. de la Ub. Transacciones de la Sociedad Matemática Americana , Vol. 130, Nº 2 (Feb., 1968), pp 322-336

Y aquí hay un enlace (una versión gratuita de su papel.

Teorema 3.6 los estados que la Stiefel colectores de $V_2(\mathbb{K}^n)$ de orthormal $2$- marcos en $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}\}$) diffeomorphic a los productos de pequeñas dimensiones de los colectores de la dimensión positiva sólo en el "obvio" que los casos de $V_2(\mathbb{R}^4)$, $V_2(\mathbb{R}^8)$, $V_2(\mathbb{C}^2)$, $V_2(\mathbb{C}^4)$, $V_2(\mathbb{H}^2)$, que son sólo diferentes descripciones de $T^1 S^3$ y $T^1 S^7$.

Answer 2

Sospecho que la respuesta es no. Tengo una idea de cómo proceder, pero nada cercano a una solución completa. Cortar $X = T^{1}^{5}$ de $\mathbb{R}^{10}$ el uso de las ecuaciones polinómicas:

$q(x,v) = x_{1}v_{1}+\dots+x_{5}v_{5} = 0$

$r(x) = x_{1}^{2}+\dots +x_{5}^{2} - 1 = 0$

$s(v) = v_{1}^{2}+\dots+v_{5}^{2} -1 = 0$

Y corte $Y = S^{4}\times S^{5}$ de $\mathbb{R}^{11}$ mediante las ecuaciones:

$t(u) = u_{1}^{2}+\dots+u_{5}^{2} - 1 = 0$

$w(v) = v_{1}^{2}+\dots+v_{6}^{2} - 1 = 0$

Isomorfo variedades deben tener isomorfo coordinar los anillos. Estoy tratando de calcular las coordenadas del anillo de ambas variedades algebraicas y mostrar que no son el mismo. Por un lado:

$\mathbb{R}[X] = \mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{5},v_{1},\dots,v_{5}]/\langle q(x,v),r(x),s(v)\rangle \stackrel{???}{ = } \mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{4},v_{1},\dots,v_{4}]\oplus\mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{4},v_{1},\dots,v_{4}]x_{5}\oplus\mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{4},v_{1},\dots,v_{4}]v_{5}$

Por otro lado,

$\mathbb{R}[Y] = \mathbb{R}[u_{1},\dots,u_{5},v_{1},\dots,v_{6}]/\langle t(u),w(v)\rangle \stackrel{???}{ = } \mathbb{R}[u_{1},\dots,u_{4},v_{1},\dots,v_{5}]\oplus\mathbb{R}[u_{1},\dots,u_{4},v_{1},\dots,v_{5}]u_{5}\oplus\mathbb{R}[u_{1},\dots,u_{4},v_{1},\dots,v_{5}]v_{6}\oplus\mathbb{R}[u_{1},\dots,u_{4},v_{1},\dots,v_{5}]u_{5}v_{6}$

Los signos de pregunta se pretende indicar una gran cantidad de incertidumbre por mi parte en cuanto a si o no escribí la respuesta correcta. Tengo que poner más atención a lo que el anillo que realmente se parece. Si lo que escribí es cierto, entonces creo que $\mathbb{R}[X]$ no es isomorfo a $\mathbb{R}[Y]$. No estoy seguro de cómo mostrar este en concreto, pero parece ser cierto sólo mirar la estructura de anillos directa sumas.

Answer 3

Este es un posible camino a seguir, no estoy seguro de si funciona.

Si desea mirar si es o no los paquetes estaban isomorfo usted podría hacer un $K$-teoría de la computación, pero aquí la atención sobre el subyacente de la esfera de paquetes. Así que en lugar que usted quiere mirar lo que sucede en $J$-teoría. Adams y Atiyah tanto hablar de estos grupos. Hay un par de formas para la construcción de ellas, como la fibra de algunos de potencia de operación en $K$-teoría, el otro es como el grupo de Grothendieck de algo que usted se está preguntando acerca de la esférica fibrations.

Yo creo que podría calcular uno de estos grupos y tratan de mostrar estable que no hay diferencias entre los dos grupos, pero inestable sería otra cosa.

Goodluck.