Transformada de Fourier de una función con soporte compacto

Question

¿En qué espacio la transformada de Fourier de una función suave compactamente soportada $\phi$ ¿Mentir? Yo no diría que reside en $\mathcal{S}$ de forma heurística ya que se puede aproximar la función escalón que es $1$ en $[0,1]$ y $0$ fuera por funciones suaves, y la transformada de Fourier de esa función decae muy lentamente.

¿Y si añado el requisito de que la media integral de $\phi$ es $0$ ? Yo esperaría una cancelación en el espacio de fase, cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será la cancelación.

Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

De hecho, se encuentra en el Espacio Schwartz que es el espacio $$ \mathcal{S} := \left\{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \,:\, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{N}\, \sup_{x\in\mathbb{R}} \left|x^\alpha f^{(\beta)}(x)\right| < \infty \right\} $$ donde $f^{(n)}$ denota el $n$ -ésima derivada de $f$ . Esta definición parece un poco intimidatoria al principio, pero es fácil de entender. Una función $f$ se encuentra en $\mathcal{S}$ si decae rápidamente, es decir, más rápido de lo que crece cualquier polinomio (por tanto $x^nf(x)$ está acotada para todo n), y si lo mismo es cierto para toda derivada de $f$ .

Este espacio es cerrado bajo la transformada de Fourier, es decir, si $f \in S$ entonces también lo es la transformada de Fourier $\mathcal{F}(f)$ . Lo mismo ocurre con la transformada de Fourier inversa. El espacio de los $C^\infty$ es obviamente un subespacio de $\mathcal{S}$ de ahí su imagen bajo $\mathcal{F}$ es también un subespacio de $\mathcal{S}$ .

El problema de tu razonamiento es que estás pensando en límites puntuales. Bajo esos, $\mathcal{S}$ no está completa, por lo que saber algo sobre el límite no dice mucho sobre $\mathcal{S}$ . Existen topologías sobre $\mathcal{S}$ que lo convierten en un espacio completo, y bajo los que efectivamente no se puede aproximar la función escalón mediante funciones en $\mathcal{S}$ . El "truco" de esas topologías consiste básicamente en forzar la convergencia de todas las derivadas, lo que impide, por ejemplo, aproximar funciones discontinuas.

Answer 2

Creo que $\hat{\phi}$ debe estar en $\mathcal{S}$ en realidad. Para demostrarlo, hay que demostrar que $\xi^n (D^m\hat{\phi})(\xi)$ es una función acotada para todo $m,n$ donde aquí $D^m$ denota el $m$ -ésima derivada. Para acotar esta función, primero utilizamos el hecho de que $$D^m\hat{\phi}(\xi) = \mathcal{F}\left\{(-2\pi ix)^m \phi(x)\right\},$$ donde $\mathcal{F}$ denota la transformada de Fourier $$\mathcal{F}(\psi)(\xi) = \hat{\psi}(\xi) := \int_\mathbb{R}\psi(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx.$$ Por lo tanto, podemos escribir $$\xi^nD^m\hat{\phi}(\xi) = \xi^n\mathcal{F}\left\{(-2\pi ix)^m\phi(x)\right\} = \frac{(2\pi i\xi)^n}{(2\pi i)^n}\mathcal{F}\left\{(-2\pi ix)^m\phi(x)\right\}.$$ Si a continuación utilizamos la identidad $$(2\pi i\xi)^n\mathcal{F}(\psi) = \mathcal{F}(D^n\psi),$$ vemos que $$\xi^nD^m\hat{\phi}(\xi) = \frac{1}{(2\pi i)^n}\mathcal{F}\left\{D^n[(-2\pi ix)^m\phi(x)]\right\}.$$ Esto demuestra que $$|\xi^nD^m\hat{\phi}(\xi)|\leq \frac{1}{(2\pi)^n}\|D^n[(-2\pi ix)^m\phi(x)]\|_{L^1}<\infty$$ para todos $\xi$ .

Answer 3

Además de decaer rápidamente (en función de la variable real), se encuentra en el espacio de las funciones analíticas enteras (en función de la variable compleja).