Evalúe $\int\frac{\mathrm{d}x}{{(x^4+2x+10)}^4}$

Question

Tengo problemas con esta integral $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{(x^4+2x+10)}^4}$ Sé que esto se puede resolver utilizando el método "ostrogradsky". Pero es demasiado largo. He intentado utilizar la integración por partes multiplicando y dividiendo por $4x^3+2$ pero no apareció nada .

Podría alguien ponerme en el buen camino.

Answer 1

En el mismo espíritu que @lab bhattacharjee, por la cuarta potencia en denominatour, asuma que $$\int\frac{dx}{{(x^4+2x+10)}^4}=\frac{P_n(x)}{{(x^4+2x+10)}^3}$$ Diferencia ambos lados y elimina el denominador para obtener $$0=-1+\left(x^4+2 x+10\right) P_n'(x)-6 \left(2 x^3+1\right) P_n(x)\tag 1$$ Para mí, esta ecuación diferencial no admite una solución polinómica debido a la $1$ .

Probando con $$P_6(x)=a+b x+c x^2+d x^3+e x^4+f x^5+g x^6$$ y ampliando $(1)$ entonces tenemos $$(-6 a+10 b-1)+x (20 c-4 b)+x^2 (30 d-2 c)+x^3 (40 e-12 a)+x^4 (-11 b+2 e+50 f)+x^5 (-10 c+4 f+60 g)+x^6 (6 g-9 d)-8 e x^7-7 f x^8-6 g x^9$$ Empezando por el final, los últimos términos dan $e=f=g=0$ ya que $g=0$ entonces $d=0$ Entonces $c=0$ Entonces $b=0$ y finalmente $a=0$ y lo que queda si el $-1$ ¡!

Entonces, y estoy dispuesto a apostar que hay un error tipográfico en el problema, la solución podría ser considerar $$\frac{1}{{(x^4+2x+10)}^4}=\frac 1 {(x-a)^4(x-b)^4(x-c)^4(x-d)^4}$$ donde $a,b,c,d$ son las raíces complejas de $x^4+2x+10=0$ y utilizar la descomposición en fracciones parciales (esto sería una pesadilla) para terminar con un montón de integrales parecidas a $$I=\int \frac {dx} {(x-k)^n} \qquad \text{with} \qquad n=1,2,3,4\qquad \text{and} \qquad k=\text{complex number}$$