¿Es un espacio métrico compacto con un punto "duplicado" secuencialmente compacto?

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico compacto con topología $\tau$ generado por la métrica. Consideremos un nuevo punto $x_1\notin X$ y un punto no aislado $x_0\in X$ . Establecer $\overline{X}=X\cup \{x_1\}$ equipado con la topología

\begin{equation} \overline{\tau}= \tau \cup \left\{W\cup \{x_1\}: x_0\in W, W\in\tau\right\}\cup \left\{(W\setminus \{x_0\})\cup \{x_1\}: x_0\in W, W\in \tau\right\}. \end{equation} Creo que $(\overline{X}, \overline{\tau})$ es un espacio compacto. Tampoco es metrizable, porque $\overline{X}$ no es un espacio de Hausdorff.

¿Podemos decir que $\overline{X}$ es secuencialmente compacto?

Por favor, ayúdame a saberlo.

Answer 1

Sí, $\overline{X}$ es secuencialmente compacta. Dada una secuencia $(a_n)$ en $\overline{X}$ si $a_n\in X$ para infinitas $n$ entonces podemos encontrar una subsecuencia que converja en $X$ y, por tanto, en $\overline{X}$ . La única otra posibilidad es que $a_n=x_0$ para todos menos finitamente muchos $n$ y luego $(a_n)$ converge a $x_0$ .

Más generalmente, cualquier espacio que sea una unión finita de subespacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto (aquí los subespacios son $X$ y $\{x_0\}$ ). La prueba es similar: dada una sucesión, debe tener infinitos términos en uno de los subespacios, por lo que tiene una subsecuencia convergente en ese subespacio.