Elección de líneas y puntos en D^2

Question

Hace poco oí hablar de un juego entre dos jugadores "Línea" y "Punto" y quise buscar más información al respecto. Sin embargo, sin saber el nombre del mismo (si es que lo tiene) encontrar más información es difícil, ¿alguien ha oído hablar de él? ¿Existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores?

El juego es el siguiente, se juega en el disco de la unidad $D^2$ en $\mathbb{R}^2$ con el punto $p_0 = (0,0)$ marcado para empezar. El juego alterna entre L y P (empezando por L) y en el turno $n$ hacen lo siguiente:

L elige una nueva línea $l_n$ a través del punto $p_{n-1}$ y entonces P elige un nuevo punto $p_n$ en línea $l_n$ en $D^2$ .

Esto forma una secuencia de puntos $(p_n)_{n = 1}^\infty$ en $D^2$ . L gana si esta secuencia converge a un punto en $D^2$ P gana si no lo hace.

Por lo que puedo decir, P tiene una estrategia ganadora, pero mi prueba formal de esto es un esbozo en el mejor de los casos.

Answer 1

En realidad, Line tiene una estrategia ganadora: puede forzar una secuencia convergente. El problema se planteó y resolvió en el siguiente artículo:

J. Maly y M. Zeleny (2006), A note on Buczolich's solution of the Weil gradient problem: a construction based on an infinite game, Acta Mathematica Hungarica vol. 113, pp. 145-158.

Answer 2

Edito: Lo siguiente tiene una laguna grave, pero lo dejo, de momento, por si le da a alguien una idea para una prueba correcta. El error es que, como P siempre elige el más lejano (de $p_{n-1}$ ) de las dos opciones de $p_n$ , $L$ puede hacer que vaya hacia adelante y hacia atrás, en lugar de "cada vez más lejos".

Creo que P puede ganar con la siguiente estrategia. Fijar una serie $\sum_1^\infty t_n$ de términos positivos, con suma 1, tal que $\sum_1^\infty \sqrt{t_n}$ diverge. Sea $r_n=\sum_1^n t_k$ . Que P elija su $n$ -ésimo punto $p_n$ de forma que su distancia al origen sea $r_n$ . Esto siempre es posible, porque $r_n>r_{n-1}$ y $l_n$ se extiende desde $p_{n-1}$ hasta el límite del disco. De hecho, P siempre tiene dos opciones a la distancia deseada del origen; sea $p_n$ ser el más alejado de $p_{n-1}$ (o cualquiera de los dos en caso de empate). Esto completa la descripción de la estrategia. ¿Por qué gana? Unas sencillas estimaciones muestran que, una vez $r_n$ se aproxima a 1 (es decir, para un valor de $n$ ), el ángulo entre los radios desde el origen hasta $p_{n-1}$ y desde el origen hasta $p_n$ es al menos de orden $\sqrt{t_n}$ . (El ángulo más pequeño se produce cuando $l_n$ es perpendicular al radio a través de $p_{n-1}$ y este ángulo más pequeño es cercano a $\sqrt{2t_n}$ si he hecho bien los cálculos). Desde $\sum_1^\infty \sqrt{t_n}$ diverge, se deduce que los radios siguen girando cada vez más lejos, sin acercarse a un límite. Por lo tanto, la secuencia $(p_n)$ no converge, y P gana.

Answer 3

P siempre puede elegir $p_n$ estar a distancia $2^{-n}$ de $p_{n-1}$ .

EDIT: No importa, leí mal el problema, pensé que P ganaría si la secuencia convergía.