Obtención de la supergravedad a partir de la supersimetría global de gauging

Question

En la página 92, mi supersimetría favorita libro dice, al hacer que el parámetro infinitesimal global de una tranformación SUSY dependa del espacio-tiempo (gauging) obliga a introducir un nuevo campo gauge que resulta tener las propiedades de un gravitón y se obtiene la supergravedad. Esto es análogo a la obtención del electromagnetismo a partir del gauging del campo global $U(1)$ simetría del lagrangiano de Dirac.

Este enfoque me parece una buena manera de aprender más sobre la supergravedad, pero desgraciadamente sólo se menciona como un comentario aparte en ese libro sin explicarlo más. Así que, ¿puede alguien explicar (o esbozar) con un poco más de detalle cómo funciona?

Answer 1

La obtención de un gravitón no es específica de SUSY: se trata de calibrar el grupo de Poincaré. Cuando se calibra una simetría global ordinaria, se toma su corriente $J_\mu$ y acoplarlo a un campo de medición $A^\mu$ . Pero una simetría espaciotemporal, como el grupo de Poincaré, tiene una corriente conservada más complicada. Esencialmente, porque el generador de momento $P_\mu$ ya tiene un índice de Lorentz, la corriente conservada correspondiente no será un vector como $J_\mu$ sino un tensor con más índices; resulta ser el tensor de tensión $T_{\mu\nu}$ . Así que calibrar el grupo de Poincaré resulta que significa introducir un gravitón $g^{\mu\nu}$ acoplamiento a $T_{\mu\nu}$ .

En el contexto SUSY, sus generadores SUSY $Q_\alpha, Q^\dagger_{\dot \alpha}$ tienen un álgebra que incluye los generadores de Poincaré como subálgebra. Así que cuando los calibras, obtienes automáticamente la gravedad. Pero como también tienes los nuevos generadores SUSY, también obtienes un poco más de estructura: resulta que necesitas un gravitino, que es el supercompañero del gravitón.

Esto es un boceto. Puedes encontrar los detalles en muchos artículos de revisión o libros de texto, como el libro clásico de Wess y Bagger. Daniel Freedman ha escrito recientemente un libro de texto que trata sobre la supergravedad.

Answer 2

El mecanismo general aquí es el análogo supergeométrico de lo que se conoce como Geometría de Cartan :

dada una inclusión de grupos de Lie $H \hookrightarrow G$ a Conexión de Cartan en algún espaciotiempo $X$ es un $G$ - conexión principal -- a $G$ -campo de calibre -- que satisface la restricción que identifica en cada punto $x \in X$ el espacio tangente $T_x X$ con el cociente $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ , para $\mathfrak{h}, \mathfrak{g}$ las álgebras de Lie de $H$ y $G$ respectivamente.

Consideremos esto para el caso de la inclusión del grupo ortogonal (grupo de Lorentz) en el Grupo de Poincaré $O(d,1) \hookrightarrow Iso(d,1)$ . El cociente $Iso(d,1)/O(d,1) \simeq \mathbb{R}^{d,1}$ es el espaciotiempo de Minkowski y una conexión de Cartan para esta inclusión de grupos gauge es equivalentemente

1. una elección de campo de vielbein

2. su Conexión Levi-Civita

en el espacio-tiempo, por lo tanto, es equivalentemente una configuración de campo de la gravedad, expuesta en formalismo de primer orden como una teoría gauge (restringida).

La historia análoga pasa por el grupo de Poincaré extendido al grupo super Poincaré . Ahora bien, una conexión de Cartan para la inclusión del supergrupo de Lorentz en el supergrupo de Poincaré es, de manera equivalente, una configuración de campo de la supergravedad en un espaciotiempo supermanifiesto, expuesta en la formulación de primer orden como una configuración de una teoría de supergauge.

Esta es una historia estándar, pero aquí hay algo interesante: por supuesto, las teorías de supergravedad de mayor dimensión (como la sugra/teoría 11d, y la supergravedad 10d heterótica y de tipo II) tienden a tener más campos que sólo el gravitón y el gravitino: también contienen campos de forma de mayor grado.

Curiosamente, esto también puede ser descrito por las conexiones gauge de Cartan, pero ahora en teórica gauge superior generalización: conexiones superiores de Cartan . Aquí el álgebra de Lie super-Poincaré se generaliza a súper álgebras de Lie n como el supergravedad Lie 3 álgebra y el supergravedad Lie 6-álgebra .

Por ejemplo, se ha demostrado que la supergravedad de 11 dimensiones es una teoría gauge de Cartan superior para la supergravedad Lie 6-álgebra por Riccardo D'Auria, Pietro Fre. Este es realmente el contenido del libro de texto

• Leonardo Castellani, Riccardo D'Auria, Pietro Fre, Supergravedad y supercuerdas: una perspectiva geométrica

Estos autores hablan del "método FDA". Sin embargo, estas "FDA" no son más que las dg-algebras duales a la super Lie anterior $n$ -(su " Álgebras de Chevalley-Eilenberg "). Esto se explica un poco en la entrada

• Formulación D'Auria-Fré de la supergravedad

Hay mucho más que se desprende de esto. Por ejemplo, el completo y exacto super $p$ -El contenido de las membranas de la teoría de cuerdas/M se induce a partir de la teoría de extensión de estas súper Lie $n$ -y, por lo tanto, de la teoría de la "reducción de los grupos gauge superiores" para las extensiones superiores del grupo/álgebra de Lie super-Poincaré. Esto se indica en nuestras notas aquí:

• Fiorenza, Sati, Schreiber: El ramillete de súper-p-branas