¿Cómo se calcula la probabilidad de sucesos simultáneos?

Question

¿Cómo se calcula la probabilidad de sucesos simultáneos? Es decir, dados cuatro sucesos simultáneos con una probabilidad del 10% cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra UNO de ellos? Obviamente, no es el 40%, porque... bueno, si hay diez sucesos, la probabilidad no es del 100%.

(¡No, no son deberes! Videojuegos, probabilidad de efectos elementales de un hechizo dado)

Answer 1

Siempre que se le pida que halle la probabilidad de que ocurra al menos UN suceso, es más fácil hallar la probabilidad de que no ocurra ninguno de ellos y eliminarla de $1$ . En este caso, $$1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))(1-P(D))=1-0.9\cdot0.9\cdot0.9\cdot0.9=0.3439$$

Answer 2

Aunque carezco de suficiente formación en probabilidad (en el momento de escribir esto), a petición del autor, sigo con mi comentario sobre la pregunta.

Sea $A, B, C, D$ sean los acontecimientos. Sea $P(X)$ sea la probabilidad del suceso $X$ . Entonces $P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 0.1$ .

Buscamos la unión de los acontecimientos:

$P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)- P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(A)P(D) - P(B)P(C) - P(B)P(D) - P(C)P(D) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(D) + P(A)P(C)P(D) + P(B)P(C)P(D) - P(A)P(B)P(C)P(D)$

Analogía:

Imagine los sucesos como conjuntos que pueden intersecarse entre sí, y la probabilidad del suceso como el número de cardinalidad del conjunto correspondiente sobre la suma de los números de cardinalidad de todos los conjuntos. Entonces, para dos conjuntos, el número de cardinalidad de la unión es la suma de los números de cardinalidad de los conjuntos menos el número de cardinalidad de su intersección, de forma que no sumemos esos elementos dos veces. Para tres conjuntos, sumamos los números de cardinalidad de los conjuntos, restamos los números de cardinalidad de cada intersección de dos conjuntos y volvemos a sumar el número de cardinalidad de la intersección de los tres conjuntos, y así sucesivamente. Si quieres saber más sobre la generalización de este principio, estudia los fundamentos de la combinatoria.

Answer 3

Si estos sucesos son estadísticamente independientes, el número de ellos que se producen se rige por una distribución binomial.

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

Answer 4

Sólo quiero recalcar que en el problema NO se ha preguntado (al menos no explícitamente) por la probabilidad de que ocurra "al menos" uno de los sucesos. Lo que la pregunta implica es la ocurrencia de "exactamente" uno de ellos, y en ese caso, como ha dicho @ncmathsadist, se trataría de un experimento de Bernoulli, es decir, un experimento con una secuencia de ensayos independientes, cada uno de los cuales sólo tiene "dos" resultados posibles, por ejemplo, ocurrido o no ocurrido.

Para calcular la probabilidad de k aciertos (por ejemplo, ocurridos) en n ensayos en un experimento de Bernoulli utilizaríamos esta fórmula conocida como la distribución binomial: ${n \choose k} * p^k * (1-p)^{n-k}$ donde p es la probabilidad de éxito de cada ensayo. (Obsérvese que también la lógica de esta fórmula es bastante sencilla, se trata de sumar todas las probabilidades de k ensayos con éxito entre todos los n ensayos independientes).

Ahora en este problema, $k$ es $1$ , $n$ es $4$ y $p$ es $0.1$ , por lo que la respuesta final sería muy fácilmente alcanzable, dará: $29\%$ .

Además si lo que realmente necesita el OP es el $p(at \ least \ one \ occurrence)$ sería $1-p(no \ occurrences)$ , que de nuevo contiene un experimento de Bernoulli, y puede calcularse utilizando la distribución binomial, lo que daría: $1 - {4 \choose 0}*0.1^0*0.9^4 = 1 - 0.9^4 = 34\%$ como sugirió @Vasil.