Si $M$ y $N/M$ son finitamente generados, entonces también lo es $N$ .

Question

Sea $M$ y $N$ sea $R-$ módulos, y $$0\longrightarrow M\overset{\iota}{\longrightarrow} N\overset{\pi}{\longrightarrow} N/M\longrightarrow 0$$ una secuencia exacta. Sea $M$ y $N/M$ finitamente generada. Demostrar que $N$ está finitamente generada.

Sé cómo probarlo, pero quería hacer lo siguiente si es posible. Desde $M$ y $N/M$ están finitamente generadas, entonces existe una suryección $$\sigma :R^{\oplus s}\longrightarrow M$$ y un suryecto $$\tau : R^{\oplus t}\longrightarrow N/M.$$

Lo que quiero mostrar es que hay una suryección $$R^{\oplus s}\oplus R^{\oplus t}\longrightarrow N.$$ Si $$\pi_1:R^{\oplus s}\oplus R^{\oplus t}\longrightarrow R^{\oplus s}$$ y $$\pi_2: R^{\oplus s}\oplus R^{\oplus t}\longrightarrow R^{\oplus t}$$ son la proyección, tenemos que $\sigma \circ \pi_1$ y $\tau\circ \pi_2$ pero, ¿cómo puedo hacerlo mejor?

Answer 1

Pista:

Lema de la serpiente o, si no está a su disposición, la caza de diagramas en \begin{alignat}{4} 0\longrightarrow R^s&\longrightarrow\, & R^s\oplus R^t &\longrightarrow &R^t&\longrightarrow 0 \\ \downarrow~&&\downarrow\quad~&&\downarrow\\ 0\longrightarrow M &\longrightarrow & N\quad~ &\longrightarrow~ & N/M&\longrightarrow 0 \end{alignat}