Condición para que un operador de Toeplitz sea de Estocolmo y encontrar su índice

Question

Tengo una pregunta sobre cómo demostrar que un operador de Toeplitz es de Estocolmo:

Demuestre que el operador $T_{e^{inx}}:L_2^+\to L_2^+$ actuando sobre $L_2^+=\sum_{k\ge 0}a_ke^{ikx}$ con $\sum_{k}|a_k|^2<\infty$ es Fredholm para cada $n\in\mathbb{Z}$ y encontrar su índice.

Denote $S^1$ el círculo unitario. El espacio $L_2^+$ es un espacio de funciones $f(z)$ en $S^1$ con $z=e^{i\theta}$ $$f(z)=\sum_{n\ge 0}a_nz^n$$ con norma $$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^2d\theta=\sum_{n\ge 0}|a_n|^2$$

$P^+$ es la proyección desde $L_2(\mathbb{Z})$ en $L_2^+$ , $\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_ke^{ikx}\mapsto\sum_{k\ge 0}a_ke^{ikx}$ . Si $h(e^{i\theta})$ es una función acotada en $S^1$ , $T_h:L_2^+\to L_2^+$ se define como $$T_h(f)=P^+hf$$ y $\|T_h\|\leq\sup_{\theta}|h(\theta)|$

Intento demostrar que este operador de Toeplitz es de Estocolmo y encontrar su índice. Mi intento es demostrar lo siguiente: si $h$ es un mapeo continuo desde $S^1$ a $\mathbb{C}$ y $h(z)\neq 0$ en $S^1$ entonces $T_h$ es Fredholm. Una vez que tengo esto, ¿cómo puedo aplicar esto a $T_{e^{inx}}$ ? Añadido: Esto funciona.

Para el índice, he leído en varias fuentes que $\text{ind}(T_h)=-w(h)$ el número de bobinado de $h$ . ¿Es cierto en mi caso? Añadido: Es $-n$ calculando el número sinuoso de $e^{inx}$ directamente.

Gracias, señor.

Añadido: si $h$ es un mapeo continuo desde $S^1$ a $\mathbb{C}$ y $h(z)\neq 0$ en $S^1$ entonces $T_h$ es Fredholm. El teorema que usé puede ser probado por:

Si $h_1$ y $h_2$ son continuas, $T_{h_1}T_{h_2}-T_{h_1h_2}$ es compacto.

Answer 1

Es cierto que para $h\in C(S^1)$ el operador de Toeplitz $T_h$ es Fredholm si y sólo si $0$ no está en el rango de $h$ y que $\operatorname{ind}(T_h)=-\operatorname{wind}(h)$ . Sin embargo, al utilizar este resultado para calcular $\operatorname{ind}(T_{e^{inx}})$ es a la vez innecesario (el índice puede calcularse directamente a partir de la definición) y circular (para demostrar el teorema del índice anterior, se reduce al caso de que $h=e^{inx}$ para algunos $n$ y, a continuación, calcula $\operatorname{ind}(T_{e^{inx}})=-n$ ).

En cualquier caso, basta con calcular el índice de $T_{e^{ix}}$ . Obsérvese que este operador es una isometría, por lo que $\ker(T_{e^{inx}})=\{0\}$ . También, $T_{e^{-ix}}=(T_{e^{ix}})^*$ tiene un núcleo unidimensional abarcado por las funciones constantes, y por lo tanto $$\operatorname{ind}(T_{e^{ix}})=\dim\ker(T_{e^{ix}})-\dim\ker(T_{e^{-ix}})=-1.$$