La acción clásica de Yang-Mills es de la forma
$$S=\frac{1}{2g^2}\int_{\mathcal{M}}\text{tr}\left[F\wedge\star F\right]\\ =\frac{1}{4g^2}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,\text{tr}\left[F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\right],$$
donde $F=dA+A\wedge A$ es la intensidad de campo Yang-Mills $2$ -forma y $g$ es una constante de acoplamiento irrelevante en la descripción clásica.
Ahora, la acción clásica de Einstein-Hilbert toma la forma
$$S=\frac{1}{2\kappa}\int_{\mathcal{M}}\star\mathcal{R}=\frac{1}{2\kappa}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,\mathcal{R},$$
donde $\mathcal{R}=\text{tr}_g(\text{tr}(R))=R^{\mu\nu}_{\,\,\,\,\mu\nu}$ es la curvatura escalar de Ricci de la variedad y $R$ representa el tensor de curvatura de Riemann, y $\kappa=8\pi G$ es de nuevo una constante de acoplamiento.
Mi pregunta es la siguiente: ¿por qué la acción de Einstein-Hilbert es lineal en el tensor de curvatura mientras que la acción de Yang-Mills es cuadrática en el tensor de curvatura del campo gauge? Se requiere que ambas teorías sean invariantes bajo un conjunto específico de transformaciones (transformaciones gauge para Yang-Mills y difeomorfismos para la gravedad de Einstein), así que parece que sus acciones deberían tener una forma similar (sé que la gravedad no es exactamente la teoría gauge de los difeomorfismos, pero esto me sigue pareciendo impar). Por ejemplo, ¿hay alguna razón a priori por la que no escribamos
$$S=\frac{1}{2\kappa'}\int\text{tr}\left[R\wedge\star R\right]=\frac{1}{4\kappa'}\int\mathrm{d}^dx\sqrt{g}\,g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}R^{\rho}_{\,\,\alpha\sigma\beta}R^{\sigma}_{\,\,\mu\rho\nu}$$
en lugar de la razón obvia de que no da las ecuaciones de Einstein?
Cualquier aclaración al respecto sería excelente. Gracias.
Nota: Esta pregunta es esencialmente la última parte de ¿Es la RG la teoría gauge de los difeomorfismos? ¿Por qué la acción de EH es lineal en la curvatura? . Sin embargo, esta pregunta nunca se respondió y se cerró, ya que las primeras partes eran esencialmente duplicados.
