Integral del producto de dos núcleos de Gauss-Weirstrass

Question

Intento demostrar que

$$\dfrac{1}{(4 \pi (t+s))^\frac{d}{2}} e^{-\frac{|x-y|^2}{4(t+s)}}=\dfrac{1}{(4 \pi s)^\frac{d}{2}} \dfrac{1}{(4 \pi t)^\frac{d}{2}} \int_{\mathbb{R}^d}e^{-\frac{|x-z|^2}{4s}}e^{-\frac{|z-y|^2}{4t}} \operatorname{d}\hspace{-0.7mm} z$$

que he leído que es posible sólo por cálculo directo, pero no sé ni por dónde empezar, así que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, observe que \begin{align} & \int_{\mathbb R^d} e^{-|z|^2} \, dz \\[8pt] = {} & \int_{\mathbb R^d} e^{-(z_1^2 + \cdots + z_d^2)} \, dz_1\cdots dz_d \\[8pt] = {} & \int_{\mathbb R^d} e^{-z_1^2} \cdots e^{-z_d^2} \, dz_1 \cdots dz_d \\[8pt] = {} & \int_{\mathbb R} e^{-z_1^2} \, dz_1 \cdots \int_{\mathbb R} e^{-z_d^2} \, dz_d, \end{align} por lo que el problema se reduce a hacer cada una de ellas por separado.

Entonces observe que \begin{align} & \frac{(x_i-z_i)^2}{4s} + \frac{(y_i-z_i)^2}{4t} \\[8pt] = {} & \frac{t(z_i^2 - 2x_iz_i + x_i^2) + s(z_i^2 - 2z_iy_i + y_i^2)}{4st} \\[8pt] = {} & \frac{(t+s)\Big(z_i^2 - 2\left(\frac{x_it+y_is}{t+s}\right)z_i + \text{terms with no “$z_i$”}\Big)}{4st} \\[8pt] = {} & \frac{\Big(z_i - \left(\frac{x_it+y_is}{t+s}\right)\Big)^2 + \left(\begin{smallmatrix} \text{terms with no “$z_i$” (not all the} \\ \text{same as on the line above)} \end{smallmatrix} \right) }{4st/(t+s)}. \end{align} Ahora observa que cuando exponencias esos términos sin $z_i,$ se convierten en factores sin $z_i$ y, por tanto, puede extraerse de la integral.

Observe también que $$ \int_{\mathbb R} e^{-(z-c)^2/(4r)} \, dz $$ no depende de $c$ porque una sustitución $w=z-c$ y $dw=dz$ sigue teniendo los mismos límites de integración, es decir, se sigue integrando sobre todo el $\mathbb R.$

¿Puedes hacer el resto?