ecuación de aceleración relativista

Question

Una nave estelar va a acelerar desde 0 hasta una cierta velocidad final de cuatro, pero no puede acelerar más rápido que $g_M$ de lo contrario aplastará a los astronautas.

¿cuál es la ecuación adecuada para limitar el movimiento de forma que los astronautas nunca sientan una gravedad superior a $g_M$ ? por un momento pensé que la relación adecuada era

$$ \left\lvert \frac{d u}{d \tau}\right\rvert \le g_M $$

donde el valor absoluto es de la componente espacial de la aceleración cuádruple

Pero yendo por este camino obtengo lo siguiente:

$$ \lvert u_F \rvert = \int_0^{\tau_F} \left\lvert \frac{d u}{d \tau} \right\rvert\,d \tau \le g_M \int_0^{\tau_F} d \tau = g_M \tau_F $$

donde $u_F$ es la componente espacial de la velocidad final, y $\tau_F$ es el tiempo adecuado que se tarda en alcanzar la velocidad final. Lo anterior me da:

$$ \tau_F = \frac{ \lvert u_F \rvert }{ g_M } $$

estoy cometiendo un error tonto, porque no hay factores gamma, y estoy obteniendo un tiempo propio finito para alcanzar $\lvert u_F \rvert = c$

Answer 1

Tu error es que utilizas únicamente el valor absoluto "de las componentes espaciales" (tus palabras) de la velocidad. Elegir sólo las componentes espaciales no es, evidentemente, un procedimiento covariante de Lorentz, por lo que no puede calcular la invariante "sentimientos de los astronautas".

En cambio, la condición correcta viene dada por la misma desigualdad pero $|d u^\mu / d \tau|$ es la longitud del cuatro-vector que se obtiene diferenciando la cuatro-velocidad $u^\mu$ donde $u_\mu u^\mu = 1$ durante el tiempo adecuado $\tau$ . El vector $d u^\mu / d \tau$ es espacial y perpendicular (según la métrica lorentziana) al vector velocidad $u^\mu$ pero esta derivada no es un vector puramente espacial en ningún sistema inercial. En un marco en el que las componentes espaciales de $u^\mu$ ya son distintos de cero, $d u^\mu / d \tau$ también contiene un componente temporal distinto de cero.

Si se calcula correctamente, el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de la luz es infinito.

La forma más sencilla de calcularlo es la que supone cierto conocimiento de la geometría lorentziana y su analogía con la geometría euclidiana. Un objeto uniformemente acelerado en el espaciotiempo euclidiano produciría una línea del mundo circular. En el espacio real de Minkowski, la línea del mundo es una hipérbola. Las coordenadas después del tiempo propio $\tau$ pueden escribirse por analogía con senos y cosenos, pero son hiperbólicas: $$ t = \sinh (\tau/\tau_0),\quad x = \cosh(\tau/\tau_0) $$ Toma, $\tau_0$ es una constante que depende de la aceleración. En consecuencia, la velocidad después de un tiempo adecuado $\tau$ es simplemente la proporción, $$ v = \tanh (\tau/\tau_0) $$ Para una pequeña $\tau$ se reduce a $\tau/\tau_0$ en el límite y el $\tau$ -derivada $1/\tau_0$ debe ser la aceleración (máxima) $g_M$ así que $\tau_0=1/g_M$ : $$ v = \tanh (\tau g_M) $$ en el $c=1$ unidades. Puedes invertirlo: $$ \tau = \frac{c}{g_M} {\rm arctanh} (v/c) $$ donde restauré los poderes de $c$ para su comodidad. Tenga en cuenta que arctanh de uno es infinito. Para un $v/c$ se utiliza ${\rm arctanh}\, x\approx x$ y la fórmula correcta se reduce a tu fórmula no relativista de la pregunta original.

Answer 2

Lo que le interesa es la aceleración adecuada La aceleración registrada por los acelerómetros de la nave está limitada:

$\alpha \leq g_M$

Para el caso unidireccional, la aceleración de coordenadas $a$ y la aceleración propia están relacionadas por:

$\alpha = \dfrac{d(\gamma v)}{dt} = \gamma ^3 a$

A partir de aquí, es fácil ver que mientras los pasajeros de la nave sienten una aceleración constante, la aceleración de las coordenadas se aproxima a cero a medida que la velocidad de las coordenadas se aproxima a $c$ .

Obsérvese también que las componentes espaciales no nulas de la cuatro-velocidad, $\vec u = \gamma \vec v$ van a infinito a medida que la velocidad de las coordenadas va a $c$ es decir, el velocidad adecuada alcanza de hecho $c$ en tiempo propio finito.