¿Puede resolverse esta ecuación simultánea no lineal?

Question

Problema:

$\{A,B,E,R,S\}\in R^{n \times n}$ son matrices cuadradas, $\{\mathbf{x},\mathbf{y}\}\in R^{n}$ son vectores. Particularmente, $\{ A,B \}$ son matrices simétricas, y $E$ es una matriz idéntica. Consideramos la ecuación utilizando estos tensores:

$$\biggl[A - \biggl( \cfrac{\mathbf{x}^{\text{T}} A^2 \ \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\text{T}} \mathbf{x}}\biggr)E \ \biggr]\mathbf{x} =\biggl[B-\biggl( \cfrac{\mathbf{y}^{\text{T}} B^2 \ \mathbf{y}}{\mathbf{y}^{\text{T}} \mathbf{y}}\biggr) E \ \biggr]\mathbf{y}$$

Además, $A$ y $B$ tienen una relación que puede expresarse mediante la siguiente ecuación, que es una especie de transformación afín :

$$B=AR+S$$

Ahora conocemos todas las variables excepto $\mathbf{x}$ . Si es posible, quiero resolver $\mathbf{x}$ analíticamente sin cálculos numéricos ( es decir método de Newton).

Conocimientos:

$\cfrac{\mathbf{x}^{\text{T}} A^2 \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\text{T}} \mathbf{x}}$ y $\cfrac{\mathbf{y}^{\text{T}} B^2 \ \mathbf{y}}{\mathbf{y}^{\text{T}} \mathbf{y}}$ se denominan cocientes de Rayleigh.

Mi intento:

Esto no es una respuesta sino mi derivación insuficiente. Sea $\mathbf{a}$ sustituir $\mathbf{x}$ y $\mathbf{b}$ sustituir $\mathbf{y}$ como se indica a continuación en la transformación:

$$ \begin{cases} \mathbf{a}=A\mathbf{x} \\ \mathbf{b}=B\mathbf{y} \end{cases} $$

Por lo tanto, las ecuaciones simultáneas pueden simplificarse utilizando los parámetros $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ y $\mathbf{u}\in \mathbf{R}^n$ . A continuación, defino $\mathbf{f}$ que son funciones vectoriales.

$$ \begin{cases} \mathbf{f}(\mathbf{a}(\mathbf{x}),\mathbf{x})=\mathbf{a} - \biggl( \cfrac{\mathbf{a}^{\text{T}} \mathbf{a}}{\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{x}}\biggr)\mathbf{x}=\mathbf{u} \\ \mathbf{f}(\mathbf{b}(\mathbf{y}),\mathbf{y})=\mathbf{b}-\biggl( \cfrac{\mathbf{b}^{\text{T}} \mathbf{b}}{\mathbf{y}^{\text{T}} \mathbf{y}}\biggr)\mathbf{y}=\mathbf{u} \end{cases} $$

No sé cómo calcular el siguiente paso, pero creo que esta ecuación tiene una bonita solución.

Answer 1

Supongo que las incógnitas son $x\not= 0,y\not= 0$ . Si $A=B=0$ entonces cada $(x,y)$ es una solución. Si $A\not= 0,B=0$ entonces cualquier solución es de la forma $(x,y)$ donde $x$ es un vector propio de $A$ .

En caso contrario $A\not= 0,B\not=0$ . Si $y$ es s.t. el RHS es $0$ volvemos al caso $B=0$ .

Ahora elegimos $y$ s.t. el RHS es $u\not= 0$ consideramos el sistema no lineal de $n$ ecuaciones en el $n$ incógnitas $(x_i)$ : $Ax-\dfrac{x^TAx}{x^Tx}x-u=0$ . Si $u$ es un vector propio de $A$ entonces, genéricamente, no hay soluciones en $x$ . Si $u$ no es un vector propio de $A$ entonces, por homogeneidad, podemos suponer que $||u||=1$ genéricamente, existen $n-1$ soluciones en $x$ al menos en $\mathbb{C}$ ; sin embargo, en mis instancias, todas las soluciones son reales.