Producto de permutaciones

Question

¿Puede alguien explicar cómo multiplicar dos permutaciones? No consigo entenderlo. Por favor, sea muy sencillo y explique cada paso.

Answer 1

Si tienes dos permutaciones mostradas en este formulario: $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}$$ y $$\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$$ puede reordenar las columnas de $\tau$ para que la primera línea de $\tau$ coincide con la segunda línea de $\sigma$ y se obtiene $\tau = \begin{pmatrix}3 & 4 & 2 & 5 & 1\\ 3 & 2 & 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ y $\tau\sigma$ ahora se describe mediante la primera línea de $\sigma$ y la última línea de $\tau$ es decir $$\tau\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 2 & 4 & 1 & 5\end{pmatrix}$$

Answer 2

Las permutaciones no son más que funciones, y su producto no es más que composición de funciones. Más detalladamente, una permutación sobre el conjunto $S=\{1,2,3,\cdots ,n \}$ es, por definición, una función $\sigma:S\to S$ que es una biyección. El producto de dos permutaciones de este tipo $\sigma $ y $\tau $ es la composición de funciones $\sigma \circ \tau $ . Dado que la composición de funciones biyectivas es una biyección, se deduce que $\sigma \circ \tau $ es de nuevo una permutación.

Una forma habitual de representar permutaciones es utilizar la notación de ciclos. Si tienes dificultades con eso te sugiero que intentes youtube para encontrar un montón de videos que explican cómo funciona y calcular con ejemplos.