forma verificable de determinar una integral de superficie

Question

Quiero determinar

$ \int_F f do $
con $f(x,y,z) = x^2z $

$F$ es la superficie del cilindro (superficie lateral) con $ F= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2= 4 , 0 \leq z \leq 1 \} $

Mi Idea para resolver esta integral de superficie es hasta ahora:

Utilización de coordenadas cilíndricas $\phi(u_1, u_2) = \begin{pmatrix} r cos (u_1) \\ rsin(u_1) \\u_2 \end{pmatrix} $

$\phi: (0,2 \pi) \times (o,z) $ $0 \leq u_1 \leq 2\pi , 0\leq u_2 \leq z $

los derivados:

$ \phi_{u_1}= \begin{pmatrix} -r sin (u_1) \\ rcos(u_1) \\ 0 \end{pmatrix}$

y $ \phi_{u_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

el producto cruzado llega a :

$ \phi_{u_1} \times \phi_{u_2} = \begin{pmatrix} r cos (u_1) \\ rsin(u_1) \\0 \end{pmatrix}$

así que $ ||\phi_{u_1} \times \phi_{u_2} || = r $

así, se llega a calcular la siguiente integral:

$$ \int_0^{2 \pi} \int_0^z (r cos^2 u_1 u_2) r du_2 du_1 $$

¿me faltan las dos superficies de la tapa, o no es necesario?

Answer 1

La notación es extraña, el razonamiento es correcto. De verdad, $$x=r\cos u_1,\quad z=u_2,\quad \mathrm ds = r\,\mathrm du_1\,\mathrm du_2.$$ Pero el razonamiento conduce a la expresión para la superficie lateral $$S_{side}=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\not\hspace{1pt} z\color{red}1}(r^{\not\hspace{1pt} 1\color{red}2}\cos^2u_1\,u_2)r\,du_1\,du_2.$$

En la superficie "suelo" ( $z=0$ ), el integrando es cero.

En la superficie del "techo" ( $z=1$ ), existe el círculo llano con las coordenadas polares ( $\rho, u_1$ ) $$x=\rho\cos u_1,\quad x=\rho \sin u_1,\quad z=1,\quad \mathrm ds = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm du_1,$$ $$S_{ceiling} = \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^r(\rho^2\cos^2u_1)\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm du_1.$$