Demuestre que $e^{iy} = 1 + iy + \frac{\mu_1 y^2}{2}$ para todos $y \in \mathbb{R}$ con $|\mu_1| \leq 1$

Question

Cómo mostrar las ampliaciones \begin{gather*} e^{iy} = 1 + iy + \frac{\mu_1 y^2}{2}\\ e^{iy} = 1 + iy - \frac{1}{2}y^2 + \frac{\mu_2 |y|^3}{3!} \end{gather*} donde $y \in \mathbb{R}$ y $|\mu_1| \leq 1$ y $|\mu_2| \leq 1$ para todos $y$ ?

Intento considerar el resto de la expansión de Taylor de una función de variable real: $e^{iy} = \cos y + i\sin y$ y sus expansiones de Taylor con residuos de Lagrange son \begin{gather*} \cos y = 1 - \frac{y^2}{2}\cos (\theta_1 y) y^2\\ \sin y = y - \frac{1}{2}\sin (\theta_2 y) y^2 \end{gather*} Así que podemos poner $\mu_1 = -[\cos (\theta_1 y) + i \sin (\theta_2 y)]$ . Pero aquí sólo tenemos $|\mu_1| \leq 2$ que no cumple el requisito...

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

El teorema de Taylor con resto integral dice que $$f(x)=j_a^nf\>(x)+R_n(x),\qquad R_n(x)=\int_a^xf^{n+1}(t){(x-t)^n\over n!}\ dt\ .$$ Aplicando esto a $f(x):=e^{ix}$ con $a=0$ encontramos que $$e^{ix}=\sum_{k=0}^n {(ix)^k\over k!}+R_n(x)$$ con $$R_n(x)={i^{n+1}\over n!}\int_0^x e^{it}(x-t)^n\ dt\ .$$ De aquí obtenemos inmediatamente la estimación $$\bigl|R_n(x)\bigr|\leq {|x|^{n+1}\over (n+1)!}\qquad(x\in{\mathbb R})\ .$$

Answer 2

Has cometido un error en tu segunda expansión. La correcta es \begin{align*} \cos y = 1 - \cos(\theta_1y)\frac{y^2}{2}, && \sin y = y - \sin(\theta_2 y)\frac{y^3}{6} \end{align*} entonces \begin{align*} e^{i y} &= \cos y + i \sin y \\ & = 1 + i y - \cos(\theta_1y)\frac{y^2}{2}- i\sin(\theta_2 y)\frac{y^3}{6} \end{align*} que se acerca más a tu respuesta ;)