Ultraproductos y compactificación de las álgebras de Lindenbaum

Question

Estoy intentando entender la relación entre los ultraproductos y la compactificación de las álgebras de Lindenbaum y quería comprobar si estoy entendiendo las cosas bien (hasta ahora).

Partimos de una teoría $T$ y forman el álgebra de Lindenbaum de sentencias equivalentes modulo $T$ . Esta álgebra contendrá elementos de la forma $[\phi]_T$ para alguna frase $\phi$ . Estos elementos serán como teorías finitas; así que cuando tomamos filtros de estos elementos, estos filtros pueden converger a un elemento ideal no en el álgebra, a saber, una teoría completa. Así que añadimos ultrafiltros para obtener los puntos ideales necesarios, compactando (¿es un verbo?) el espacio, que ahora es $S(T)$ el espacio de las teorías completas en el lenguaje de $T$ y corresponde al espacio de Stone del álgebra original (esto también explica por qué los tipos completos pueden considerarse como $\{0, 1\}$ -son ultrafiltros, que son tales medidas).

Por otra parte, si consideramos los modelos asociados a las teorías, vemos que si $\mathcal{A}_i$ es el modelo de una teoría $i$ en un filtro $F$ del álgebra de Lindenbaum original, entonces vemos que al ultrafiltro $U$ ampliando $F$ corresponderá un ultraproducto $\mathcal{A}$ . Este ultraproducto será en cierto sentido (¿cuál?) el límite de las estructuras $\mathcal{A}_i$ y su teoría corresponderá al ultrafiltro del álgebra de Lindenbaum, es decir, a un punto del espacio de Stone $S(T)$ .

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¿Es correcta la cuenta anterior? ¿Me falta algo? ¿Hay otras cosas a las que deba prestar atención al rellenar los datos de la cuenta anterior?

Answer 1

Creo que aquí hay cierta confusión entre los ultrafiltros sobre conjuntos y las álgebras booleanas. Un ultrafiltro en un álgebra booleana $B$ es un subconjunto $U\subseteq B$ . Un ultrafiltro en un conjunto $X$ es un conjunto de subconjuntos $U\subseteq\mathcal{P}(X)$ en particular, es un ultrafiltro en el álgebra booleana de conjuntos de potencias $\mathcal{P}(X)$ .

¿En qué sentido $S(T)$ ¿una compactificación del álgebra de Lindenbaum? Normalmente, compactar significa incrustar un espacio topológico en un espacio compacto. Pero el álgebra de Lindenbaum es un álgebra booleana, no un espacio, y no se incrusta de forma natural en $S(T)$ . En lugar de la compactificación del álgebra de Lindenbaum $L(T)$ , $S(T)$ es el espacio correspondiente a $L(T)$ en Dualidad pétrea .

Por otra parte, se pueden considerar ciertos espacios de Stone como compactificaciones de conjuntos. Dado un conjunto $X$ la compactación Stone-Čech $\beta X$ es el espacio de los ultrafiltros sobre el conjunto $X$ es decir, ultrafiltros en el álgebra booleana del conjunto de potencias de X. Es decir, $\beta X = S(\mathcal{P}(X))$ . Y $\beta X$ es una compactificación de $X$ cuando vemos $X$ como un espacio discreto, por el envío de incrustación $x\in X$ al ultrafiltro principal generado por $x$ .

Una posible confusión entre ultrafiltros sobre conjuntos y álgebras booleanas se refleja también en tu último párrafo, donde parece que intentas tomar un ultraproducto de estructuras $(\mathcal{A}_i)_{i\in I}$ mediante un ultrafiltro en un álgebra booleana. Normalmente, el ultraproducto se define utilizando un ultrafiltro sobre el índice configure $I$ .