Uso de Maple para aproximar una integral

Question

Utiliza Maple para aproximar el valor de $b$ que resuelve la siguiente ecuación:

$$\int_1^b \frac1x\,dx= 1$$

Elegí dos valores $b$ tales que una sobre aproxima la integral y otra que sub aproxima la integral. Luego intento interpolar para obtener un nuevo valor de $b$ . Iba a tratar de repetir hasta que cuatro o cinco decimales siguen siendo los mismos. No funcionó. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

La ecuación $\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}=1$ es equivalente a $\log(b)=1$ por lo que el problema se reduce a encontrar aproximaciones precisas para $e$ . Desde $e^x$ es una solución de la ecuación diferencial $f'=f$ , $$ e^{x}=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!} $$ se cumple para cada $x\in\mathbb{C}$ . En particular $e$ puede aproximarse mediante $$ \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}\qquad\text{or}\qquad \left(\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{n!}\right)^{-1} $$ para algunos grandes $N\in\mathbb{N}$ . Una alternativa más eficiente es realizar una integración explícita de funciones como $x^N(1-x)^N e^{-x}$ en $(0,1)$ donde tales funciones son positivas pero bastante pequeñas. Por ejemplo, considerando $N=6$ tenemos

$$ \frac{1}{2^{12}}\geq \int_{0}^{1} x^6(1-x)^6 e^{-x}\,dx = 720 \left(398959-\frac{1084483}{e}\right) $$ a partir de la cual tenemos la aproximación extremadamente exacta $e\approx \frac{1084483}{398959}$ (el error es inferior a $10^{-12}$ ). Con un enfoque similar, es decir, sustituyendo los polinomios $x^N (1-x)^N$ con los polinomios de Legendre desplazados $P_N(2x-1)$ también podemos calcular la fracción continua entera de $e$ : $$ e=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14,\ldots]$$ lo que nos permite calcular aproximaciones con una precisión arbitraria.

Answer 2

restart;
solve(int(1/x, x = 1 .. b) = 1, b) assuming b>1;
evalf(%,12)