Demuestre lo siguiente $\tan(nA)$ expansión

Question

He descubierto el enfoque. Escribiendo la expansión de $(1 + x)^n$ sustituyendo $x$ con $i \tan (A)$ .

A continuación, separando la parte real de la imaginaria y $\tan(nA)$ será igual a Im/Real.

Pero, tras alcanzar $(1 + i \tan(A))^n$ no consigo convertirlo en la forma de De-Moivre a partir de la cual podría seguir adelante.

Demostrar que

$$\tan(nA) = \dfrac{\dbinom{n}1t - \dbinom{n}3 t^3 + \dbinom{n}5 t^5 \pm \cdots}{1 - \dbinom{n}2 t^2 + \dbinom{n}4 t^4 \pm \cdots}$$ donde $t= \tan(A)$ .

Answer 1

En general $$ \tan(\alpha+\beta+\gamma+\cdots) = \frac{e_1-e_3+e_5-e_7+\cdots}{e_0 -e_2+e_4-e_6+\cdots}\tag{1} $$ donde $e_k$ es la suma de todos los productos de $k$ de las tangentes $\tan\alpha,\tan\beta,\tan\gamma,\ldots\ {}$ . Por ejemplo, si sólo hay cuatro variables, $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ entonces $$ e_2 = \tan\alpha\tan\beta + \tan\alpha\tan\gamma + \tan\alpha\tan\delta + \tan\beta\tan\gamma+\tan\beta\tan\delta +\tan\gamma\tan\delta $$ y $$ e_3 = \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma+\tan\alpha\tan\beta\tan\delta+\tan\alpha\tan\gamma\tan\delta+\tan\beta\tan\gamma\tan\delta, $$ etc. Y por supuesto $e_0=1$ (excepto cuando hay $0$ en cuyo caso $e_0=0$ ). Es fácil demostrar $(1)$ por inducción matemática sobre el número de variables.

Así que si quieres $\tan(n\alpha)$ , es sólo el caso en que todas las variables son la misma variable, $\alpha$ . Así, por ejemplo, si hay cuatro variables, entonces $e_2 = \dbinom 4 2 \tan\alpha\tan\alpha = 6\tan^2\alpha$ y $e_3 = \dbinom 4 3 \tan^3\alpha$ etc.

Answer 2

\begin{align} (1 + i \tan(A))^n & = \left( 1 + i \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)}\right)^n\\ & = \left(\dfrac{\cos(A) + i \sin(A)}{\cos(A)} \right)^n\\ & = \dfrac{e^{inA}}{\cos^n(A)}\\ & = \dfrac{\cos(nA) + i \sin(nA)}{\cos^n(A)} \end{align} Por lo tanto, la parte real es $\dfrac{\cos(nA)}{\cos^n(A)}$ y la parte imaginaria es $\dfrac{\sin(nA)}{\cos^n(A)}$ .

Ahora deberías poder terminarlo dividiendo la parte imaginaria entre la parte real.