Cómo demostrar esta desigualdad $\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^2+2b^4}\ge 1$

Question

Sea $a,b,c>0$ tal $a+b+c=3$ . S $$\dfrac{a^4}{a^2+2b^4}+\dfrac{b^4}{b^2+2c^4}+\dfrac{c^4}{c^2+2a^4}\ge 1$$

Mi intento es utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, considero $$\left(\dfrac{a^4}{a^2+2b^4}+\dfrac{b^4}{b^2+2c^4}+\dfrac{c^4}{c^2+2a^4}\right)(a^2+b^2+c^2+2a^4+2b^4+2c^4)\ge (a^2+b^2+c^2)^2$$ Sin embargo, $$(a^2+b^2+c^2)^2\le (a^2+b^2+c^2+2a^4+2b^4+2c^4)$$

Answer 1

Por C-S $$\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^2+2b^4}=\sum_{cyc}\frac{a^8}{a^6+2a^4b^4}\geq\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{\sum\limits_{cyc}(a^6+2a^4b^4)}.$$ Por lo tanto, queda por demostrar que $$(a^4+b^4+c^4)^2\geq\sum\limits_{cyc}(a^6+2a^4b^4)$$ o $$a^8+b^8+c^8\geq a^6+b^6+c^6$$ o $$9(a^8+b^8+c^8)\geq(a+b+c)^2(a^6+b^6+c^6),$$ lo cual es obvio por la desigualdad de la Media de Potencia: $$\left(\frac{a^8+b^8+c^8}{3}\right)^{\frac{2}{8}}\geq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$$ y $$\frac{a^6+b^6+c^6}{3}\leq\left(\frac{a^8+b^8+c^8}{3}\right)^{\frac{6}{8}}.$$ ¡Hecho!

La desigualdad $a^8+b^8+c^8\geq a^6+b^6+c^6$ podemos demostrar también de la siguiente manera.

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}(a^8-a^6)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(a^6(a-1)(a+1)-2(a-1))\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(a-1)(a^7-1+a^6-1)\geq0,$$ lo cual es obvio.