Si $\mathbb E[X\boldsymbol 1 _G]=0$ para todos $G\in \mathcal G$ , does $X=0$ ?

Question

Sea $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ un espacio de probabilidad y $\mathcal G$ un subcampo de $\mathcal F$ . Tengo que $\mathbb E[X\boldsymbol 1_G] = 0$ para todos $G\in \mathcal G$ . ¿Tenemos que $X=0$ ? He demostrado que si $X\geq 0$ a.s. entonces $X=0$ a.s. pero si $X$ es sólo medible, entonces tengo que $X=X^+-X^-$ y así $$\int_{G}X^+=\int_GX^-,$$ ¿pero cómo puedo concluir?

Answer 1

Esto es cierto si $X$ no es sólo $\def\F{\mathcal F}\F$ -, pero $\def\G{\mathcal G}\G$ -medible. En general $\F$ -funciones medibles es incorrecta, como se muestra en la otra respuesta. Supongamos, por tanto, que $X$ es $\G$ -medible. Sea $n\in\mathbf N$ y $G := \{X > \frac 1n\}\in \G$ como $X$ es $\G$ -medible. Por lo tanto $$ 0 = \def\E{\mathbf E}\E[X1_G] = \int_{X > \frac 1n} X\, d\def\P{\mathbf P}\P \ge \frac 1nP\left(X > \frac 1n\right) \iff \P\left(X > \frac 1n\right) = 0 $$ Por lo tanto $$ \P(X > 0) = \lim_n \P\left(X > \frac 1n\right) = 0 $$ Con $G = \{X < \frac {-1}n\}$ obtenemos, en la misma línea, que $$ \P(X < 0) = \lim_n \P\left(X < -\frac 1n\right) = 0$$ Por lo tanto $\P(X\ne 0)= 0$ es decir $X = 0$ $\P$ -a. s.

Answer 2

Si $\mathcal{G} = \{\emptyset,\Omega\}$ entonces la única información que tienes es que $\mathbb{E} X = 0$ . En general, esto no basta para concluir que $X = 0$ . (Sin embargo, si $X \geq 0$ entonces $\mathbb{E}X=0$ implica que $X=0$ casi seguro).