Llevo todo el día dándole vueltas a esta pregunta. Me dijeron que graficara $\log _5 (4x - 6) - 3 = \log _5 (2x -3)$ algebraica y gráficamente y enumera todas las raíces.
No encuentro la respuesta. Creo que me he acercado un par de veces, pero ninguna de mis respuestas parece tener sentido cuando las compruebo.
Primero el camino largo, no noté el múltiple, $$\log_5(4x-6)-3=\log_5(2x-3)$$ $$\log_5(4x-6)-\log_5 125=\log_5(2x-3)$$ $$\log_5\frac{4x-6}{125}=\log_5(2x-3)$$ $$\frac{4x-6}{125}=2x-3$$ $$4x-6=250x-375$$ $$246x=369$$ $$x=\frac{3}{2}$$ Pero, si se pone esto en la ecuación dada, se ve $\log_50$ que no está definido. Así que no hay solución.
O empezando por el principio, ya que $4x-6=2(2x-3)$ , $$\log_5(2(2x-3))-3=\log_5(2x-3)$$ $$\log_5(2x-3)+log_52-3=\log_5(2x-3)$$ $$log_5 2=3$$ $$2=5^3=125$$ lo cual es falso. No hay solución.
$\log_5 (4x-6)-3=\log_5 (2x-3)$ subes 5 yo la potencia de ambos lados de la igualdad $5^{\log_5 (4x-6)-3}=5^{\log_5 (2x-3)}$ separar las potencias del lado izquierdo $5^{\log_5 (4x-6)}* 5^{-3}=5^{\log_5 (2x-3)}$ los logaritmos y exponenciales se cancelan y se obtiene
$(4x-6)*5^{-3}=2x-3$ a partir de ahora es sólo una ecuación de 1er grado $4*5^{-3}x-6*5^{-3}=2x-3$
$(4*5^{-3}-2)x=-3+6*5^{-3}$
así que $x=\frac{-3+6*5^{-3}}{(4*5^{-3}-2)}=\frac{3}{2}$
El problema es que en esta ecuación ambas funciones divergen a infinito negativo en x=3/2.
Si traza $f(x)=\log_5 (4x-6)-3$ y $g(x)=\log_5 (2x-3)$ en una calculadora gráfica verás que ambas funciones parecen encontrarse en una recta vertical en x=3/2.
Desde $\log_5(4x-6)=\log_5(2(2x-3))$ Si te fijas sólo en los logaritmos de ambas funciones puedes ver que como ambas tienen un argumento que se multiplica por 2x-3 los argumentos tendrán las mismas raíces, por lo que los logaritmos irán a infinito negativo en el mismo punto.
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