Aditividad de las valoraciones

Question

Parece una pregunta demasiado fácil, pero llevo unos días con este problema y no consigo avanzar mucho. Definimos un anillo de valoración por dos propiedades equivalentes: Para un dominio integral A y su campo de fracciones K tenemos

a) para cada $x \in K^*$ se tiene $x\in A$ o $x^{-1}\in A$ y

b) el grupo parcialmente ordenado $(\Gamma, \geq) = (K^*/A^*, x \geq y$ si $ xy^{-1} \in A)$ es totalmente ordenada y abeliana.

Entonces llamamos a A un anillo de valoración. Definimos una valoración $v: K \rightarrow \Gamma \cup \infty$ , $ x \mapsto xA^*$ y $0 \mapsto \infty$ . Ya he demostrado que $v(x+y) \geq min(v(x),v(y))$ . Ahora quiero demostrar que v es aditivo, es decir, que $v(xy) = v(x) + v(y)$ . Podemos suponer que $v(xy) \geq v(x) + v(y)$ o a la inversa, ya que $\Gamma$ está totalmente ordenado, y luego tratar de demostrar la otra dirección. Así que empecé asumiendo $v(xy) \geq v(x) + v(y)$ . Ahora bien, tengo problemas para formular esta relación en términos de la definición del $\geq$ - relación. He intentado escribir esto como $xy(x+y)^{-1} \in A$ pero eso no me ayudó a probar que $(x+y)y^{-1}x^{-1}\in A$ . Así que pensé que había cometido un error: porque si asumo $v(xy) \geq v(x+y)$ , ESO debería traducirse por $xy(x+y)^{-1} \in A$ y $v(x+y)$ y $v(x)+v(y)$ son dos cosas distintas.

¿Y ahora cómo lo hago? ¿Cuál sería la traducción correcta de mi suposición de que $v(xy) \geq v(x) + v(y)$ ?

Answer 1

Convirtiendo mi comentario en una respuesta para sacarlo de la lista de sin respuesta. La estructura del grupo en $\Gamma$ que denotamos $+$ no se define como $xA^* + yA^* = (x + y)A^*$ pero como $xA^* + yA^* = (xy)A^*$ . Con esa definición, el hecho de que $v(xy) = v(x) + v(y)$ es bastante sencillo.

En cuanto a si la notación multiplicativa sería más sensata, supongo que tiene sentido. Una fuente de valoraciones (aunque suelen ser arquimedianas) es tomar un valor absoluto $|\cdot|$ en tu anillo, y escribiendo $v(x) = e^{-|x|}$ . (Supongo que por eso las valoraciones también se llaman exponencial valoraciones). El grupo $\Gamma$ es entonces $\mathbb{R}_{>0}$ con la estructura multiplicativa. Seguramente a $\cdot$ sería más sensato que un $+$ aquí.

Pero claro, de todas formas todo son convenciones :)