Muestra el decaimiento de los coeficientes de Fourier $C_n = 1/2\pi \int_{-\pi}^\pi e^{-inx} \phi(x) dx$

Question

Estoy mirando los coeficientes de Fourier de $\phi \in L^1([-\pi, \pi])$ definido como

$$ C_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-inx} \phi(x) dx$$ Quiero demostrar que $\lim_{|n| \to \infty} C_n = 0$ Puedo demostrar que $\sup|C_n| \leq \frac{1}{2\pi}\|\phi\|_{L^1}$ utilizando un truco similar al descubierto en mi pregunta anterior aquí .

No sé cómo mostrar que $C_n \to 0$ sin embargo.

Answer 1

Este resultado se conoce como lema de Riemann-Lebesgue. Demuéstralo en dos pasos:

1. Supongamos que $\phi$ es $C^1$ (y periódica). La integración por partes muestra que $C_n\to0$ .
2. Utilizar un argumento de densidad. Cualquier $\phi\in L^1$ puede aproximarse en el $L^1$ norma por $C^1$ funciones.