Que $m \geq2$ ser un número entero. Quiero preguntar cómo probar que la suma de las siguientes series es irracional: $$\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{m^{n^2}}$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para tener una idea de lo que está pasando aquí, vamos a empezar con un simple, aparentemente no relacionados, el problema, es decir, nos muestran que la representación decimal de $x=1/7$ es periódica.
Sabemos cómo hacerlo, ¿verdad? Se debe realizar la división larga de $1$ $7$ y muy pronto los dígitos producido por la división comenzará con el ciclo. El resultado es $$x=0.14285714285714285714\ldots,$$ usually abbreviated as $x=0.\overline{142857}$. Por lo tanto, la representación decimal es, de hecho, periódicos... pero ahora queremos hacer dos preguntas:
- Lo que hace este periódico expansión?
- ¿Qué significa esto?
Así, el significado es claro: la expansión dice que $$x=n\cdot10^{-6}+n\cdot10^{-12}+n\cdot10^{-18}+\cdots$$ with $n=142857$, that is, that $$x=n\cdot10^{-6}\cdot\sum\limits_{i=0}^{+\infty}10^{-6i}=\frac{n\cdot10^{-6}}{1-10^{-6}}=\frac{n}{10^6-1}.$$ En otras palabras, empezamos a partir de una representación de $x$ como una fracción, es decir,$x=1/7$, y llegamos a otro de la representación de $x$ como una fracción, es decir,$x=142857/(10^6-1)$. Si el objetivo es calcular la representación decimal de $x$, la segunda fracción es realmente muy agradable porque, por el simple hecho de que $142857\lt10^7$, la periodicidad de la representación de $x$ se hace evidente. Pero todavía tenemos dos misterios a resolver:
- ¿Por qué obtener un $10^6-1$ como el denominador?
- ¿Por qué obtener un $142857$ como el numerador?
En este punto, uno podría tomar nota de que, puesto que la expresión de cada número racional como una reducción de la fracción es único, uno mejor que tengas $10^6-1=7\cdot n$. En particular, $10^6-1$ debe ser un múltiplo de $7$$10^6=1\pmod{7}$. Ahora, esto suena una campana! Uno sabe que, tan pronto como $k$ $b$ son relativamente primos, $k^{\phi(b)}=1\pmod{b}$. Desde $10$ $7$ son relativamente primos y $\phi(7)=6$, de hecho, $10^6-1$ es un múltiplo de a $7$, y la observación también explica la aparición de $6$ como el exponente de $10$. Lo que es más importante, se sugiere una razón por la que todo el proceso tiene y, al mismo tiempo, de una manera muy generalizar nuestras observaciones para cualquier número racional.
Así, consideramos que cualquier número racional $x=a/b$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\geqslant1$, $b\geqslant2$ (de lo contrario, $x$ es un número entero), $a\leqslant b-1$ (de lo contrario, el cambio de $x$ por un número entero), y que $b$ no tiene ningún factor de $2$ o $5$ (de lo contrario, se multiplican $b$ por los poderes de $5$ o $2$ para obtener una potencia de $10$, luego multiplicando $x$ por este poder de $10$ simplemente cambia la expansión de $x$). Por lo tanto, $10$ $b$ son relativamente primos y $10^c=1\pmod{b}$, para algún entero positivo $c$. Esto significa que $10^c=bd+1$ para algunos entero $d$, lo que implica que $x=n/(10^c-1)$$n=ad\lt10^c-1$. Uno se $x=0.\overline{n_{c-1}n_{c-2}\cdots n_1}$ donde $n=\sum\limits_{i=0}^{c-1}n_i\cdot10^i$ $n_i$ $\{0,1,\ldots,9\}$ es la representación decimal de $n$. Esto demuestra que la representación decimal de $x$ es de hecho el periódico y, al mismo tiempo, los rendimientos de una manera de calcular esta representación.
(Al$a=1$$b=7$, de hecho uno se pone $c=6$, $d=999999/7=142857$ y $n=142857$.)
Volviendo finalmente a la pregunta, uno ve que no hay nada específico para la base de $10$ aquí. Por lo tanto, considere la posibilidad de cualquier entero $m\geqslant2$ y algún número real $x$$[0,1]$. Por lo tanto, $x=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}x_im^{-i}$ para algunos secuencia $(x_i)_{i\geqslant1}$ con valores en $\{0,1,\ldots, m-1\}$. A continuación, $x$ es un número racional si y sólo si la secuencia de $(x_i)_{i\geqslant1}$ es en última instancia periódica.
En el caso que nos ocupa, $x_i=1$ al $i$ es un cuadrado y $x_i=0$ lo contrario, por lo tanto , las brechas entre los dígitos $1$ son ilimitados. Este prohíbe final de la periodicidad, por lo tanto $x$ es irracional.
