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Calcular la PDF de $X$ si $(X,Y)$ se distribuye uniformemente en el disco unitario

Sea $X,Y$ sean variables aleatorias y $(X,Y)$ se distribuye uniformemente sobre el disco unitario. Hallar la función de densidad $f_X$ .

Pues bien, se da la circunstancia de que $f(x,y) = \frac{1}{\pi}$ si $(x,y) \in S^1$ y $0$ en otro sitio.

Por lo tanto, $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = \int_{-1}^1 \pi^{-1}dy = 2 \pi^{-1}$$ para $x \in [-1,1]$ y $0$ en otro sitio.

Pero, esto parece incorrecto, ya que no es una función de densidad. ¿Dónde está mi error?

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hypernova Puntos 171

Parece que ha utilizado mal el $f$ . Para cada $x\in\left[-1,1\right]$ , $$ f(x,y)=\frac{1}{\pi}\cdot\mathbb{1}_{\left[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\right]}(y). $$ Por lo tanto, $$ f_X(x)=\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\pi}\cdot\mathbb{1}_{\left[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\right]}(y){\rm d}y=\frac{1}{\pi}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}y=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}. $$

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mac Puntos 1497

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_{-1}^1 \color{red}{1_{S^1}(x,y)} dy = \frac1\pi \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$$

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