Qué subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ son homeomórficas a $\mathbb{R}^n$ ¿en sí?

Question

La motivación de esta pregunta está relacionada con el hecho de que en varios libros de geometría diferencial he visto tres criterios diferentes para los mapas de cartas. Estos eran:

• Si $(U,\varphi)$ es un gráfico local, entonces $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un balón abierto en $\mathbb{R}^n$ .

• Si $(U,\varphi)$ es un gráfico local, entonces $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un rectángulo abierto en $\mathbb{R}^n$ .

• Si $(U,\varphi)$ es un gráfico local, entonces $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .

El objetivo de los gráficos es que sus dominios sean topológicamente "triviales". De esto, y de otras observaciones (quizá malinterpretadas por mí) que he leído en libros, me ha dado la impresión de que cualquier conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ es homeomorfo con $\mathbb{R}^n$ (aunque esto es cierto para las bolas y los rectángulos abiertos).

Sin embargo, esta afirmación parece errónea. Por ejemplo $$ C=\{x^2+y^2 <r_0|\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\} $$ sea un cilindro abierto infinitamente largo en $\mathbb{R}^3$ que es claramente un conjunto abierto, por lo que su cierre $\text{cl}(C)$ es un conjunto cerrado, entonces $$ M=\mathbb{R}^3\setminus\text{cl}(C) $$ es el complemento de un conjunto cerrado, por lo que es abierto.

Sin embargo $M$ tiene clases de homotopía no triviales, en particular, los bucles que serpentean alrededor del cilindro no son contractibles. Sin embargo, los homeomorfismos conservan la homotopía, por lo que $M$ no puede ser homeomorfo a $\mathbb{R}^3$ pero es un conjunto abierto del mismo.

Pregunta: ¿Cuál es un criterio general para determinar si un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ es homeomorhpic a $\mathbb{R}^n$ ¿en sí?

Basándome en mi ejemplo, asumo que la definición de los mapas gráficos son "sólo" homeomorfismos a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ está mal entonces, ¿verdad?

Answer 1

Las tres condiciones sobre los gráficos son equivalentes (por elección quizás diferente de "local"), porque sólo consideramos una base abierta para cada punto $p\in M$ . Lo importante de este adjetivo "local" es que te permite restringir a barrios aún más pequeños para obtener la condición (ya que en la base puedes sustituir el antiguo conjunto abierto más grande por este nuevo conjunto abierto más pequeño y seguir obteniendo una base local). No hay pérdida en restringir porque lo que consideramos en última instancia es un atlas maximal, es decir, cada gráfico (es decir, homeomorfismo de un subconjunto abierto de $M$ a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ ) que sea compatible (es decir, los mapas de transición son de cualquier clase $C^0,C^1,\dots,C^\infty,C^\omega$ con los que trabajas) con nuestras cartas locales.

@DanielMroz comentario y enlaces abordado su pregunta acerca de cómo decidir si un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ sí mismo.