Teorema del rastro: una pregunta sobre la prueba de Evans

Question

Esta es una parte de la prueba de Thoerem "Trace-zero functions in $W^{1,p}(\Omega)$ en el libro de Evans. No entiendo la desigualdad que implica $\displaystyle\int_{\mathbb{R^N}_{+}}\vert Dw_m - Du\vert^p dx$ .

¿Podría alguien ayudarme a entender por qué es cierto?

También el (12) no es tan claro para mí. Cualquier tipo de ayuda es bien aceptada. Muchas gracias.

3. Siguiente $\zeta \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ s $$ \zeta \equiv 1 \text { on }[0,1], \zeta \equiv 0 \text { on } \mathbb{R}-[0,2], \quad 0 \leq \zeta \leq 1 $$ a $$ \left\{\begin{array}{l} \zeta_{m}(x):=\zeta\left(m x_{n}\right) \quad\left(x \in \mathbb{R}_{+}^{n}\right) \\ w_{m}:=u(x)\left(1-\zeta_{m}\right) \end{array}\right. $$ T $$ \left\{\begin{array}{l} w_{m, x_{n}}=u_{x_{n}}\left(1-\zeta_{m}\right)-m u \zeta^{\prime} \\ D_{x^{\prime}} w_{m}=D_{x^{\prime}} u\left(1-\zeta_{m}\right) \end{array}\right. $$ C $$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}\left|D w_{m}-D u\right|^{p} d x \leq & C \int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}\left|\zeta_{m}\right|^{p}|D u|^{p} d x \\ &+C m^{p} \int_{0}^{2 / m} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}|u|^{p} d x^{\prime} d t\\ =:A+B. \end{aligned} $$ N $$ A \rightarrow 0 \quad \text { as } m \rightarrow \infty, \tag{11} $$ desde $\zeta_{m} \neq 0$ sólo si $0 \leq x_{n} \leq 2 / m .$ Para estimar el término $B$ utilizamos la desigualdad (9) $$ B \leq C m^{p}\left(\int_{0}^{2 / m} t^{p-1} d t\right)\left(\int_{0}^{2 / m} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}|D u|^{p} d x^{\prime} d x_{n}\right) \tag{12} $$

captura de pantalla directa del libro: https://i.stack.imgur.com/dZUOW.png

Answer 1

Tenga en cuenta que esta sección trata el caso $1\le p<\infty$ . $\newcommand{\dd}{\mathop{}\!\mathrm{d}}$ Primero calculamos $$ Dw_n (x)= D\big(u (x)(1-\zeta_m(x))\big) = Du(x) (1-\zeta(mx_n)) - mu(x) \zeta'(mx_n)$$ por lo tanto

\begin{align}I_n:= \int_{\mathbb R_+^n}|Dw_n-Du|^p \dd x &= \int_{\mathbb R_+^n} |Du(x) \zeta(mx_n) - mu(x) \zeta'(mx_n)|^p \dd x \\ &\overset \star\le C \int_{\mathbb R_+^n}|\zeta_m|^p|Du|^p + m^p|\zeta'|^p |u|^p \dd x \\ &\overset {\star\!\star}\le C \int_{\mathbb R^n_+} |\zeta_m|^p|Du|^p \dd x + C\int_0^{2/m}\int_{\mathbb R^{n-1}} m^p|u|^p \dd x' \dd t \\ &=: A + B \end{align} La línea marcada $\star$ es por convexidad de $\phi:[0,\infty)\to[0,\infty), \phi(t) = t^p$ : $$ (a+b)^p = 2^p\left(\frac{a+b}2\right)^p \le 2^{p-1} (a^p + b^p).$$ La línea marcada $\star\!\!\star$ es utilizando ese $\zeta'\in C^\infty_c\subset L^\infty$ (sepa que la constante $C$ cambiaba de una línea a otra), y también $\int_{\mathbb R^n_+} = \int_0^\infty \int_{\mathbb R^{n-1}}$ junto con el hecho de que $\zeta'$ es compatible con $[0,2/m]$ . En realidad, sólo es distinto de cero cuando $x_n\in [1/m,2/m]$ pero esta desigualdad más fuerte no es importante para la demostración.

La aplicación de (9) para obtener (12) es más sencilla: primero recuerdo (9),

$$\int_{\mathbb{R}^{n-1}}|u(x', x_{n})|^{p} \dd x^{\prime} \leq C x_{n}^{p-1} \int_{0}^{x_{n}} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}|D u|^{p} \dd x' \dd t \tag{9}$$

conectándose a $B$ da $$ B=C\int_0^{2/m}\int_{\mathbb R^{n-1}} m^p|u|^p \dd x' \dd t\le Cm^p\int_0^{2/m} t^{p-1} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}|D u(x',x_n)|^{p} \dd x' \dd x_n \dd t $$
Ahora, como las integradas son positivas, basta con utilizar $t<2/m$ sustituir $\int_0^t$ con $\int_0^{2/m}$ y, a continuación, tire $\int_{0}^{2/m} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}|D u(x',x_n)|^{p} \dd x' \dd x_n$ fuera del $t$ integral. Así se obtiene (12).