Teorema de la transformación, distribución de Cauchy

Question

He obtenido la densidad para el cociente de dos variables aleatorias independientes, mediante la fórmula de transformación. De esta manera: $V = X/Y $ y $ U = X $ de inversión: $Y = U/V$ o $X =U$ el jacobiano: $J(x,y)/J(u,v) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1/v & -u/v^{2} \end{vmatrix} = -u/v^2$ por lo que la densidad conjunta $f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(u,u/v) u/v^{2} $ ahora, puedo obtener la densidad para $V$ así $f_{V= X/Y}(v) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(u)f_Y(u/v )u/v^2 du $ donde también he utilizado que X e Y son independientes.

en primer lugar, ¿resultaron correctos mis cálculos?, en segundo lugar, quiero aplicar esto cuando X e Y son independientes $N(0,1)$ para demostrar que el cociente X/Y es C(0,1) - Cauchy. En ese caso, utilizando lo que he obtenido anteriormente, obtendríamos:

$$f_{V= X/Y}(v)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2v^2} u/v^2 du$$

pero estoy atascado esto no funciona no sé dónde me equivoco. ¿alguien?

Answer 1

Utilizar la transformación

$$U = \frac{X}{Y}\,\,,V = Y\\X = UV\,\,,Y=V$$

El jacobiano es

$$J = \frac{ \partial (x,y)}{\partial (u,v)}= v$$

La densidad conjunta es:

$$ f_{UV}(u,v)=f_{XY}(X(u,v),Y(u,v))|J|= \frac{|v|}{2\pi}\exp[-v^2(u^2+1)/2].$$

Integrar para hallar la densidad marginal de $U$ ,

$$ f_{U}(u)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|v|\exp[-v^2(u^2+1)/2]dv= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}v\exp[-v^2(u^2+1)/2]dv.$$

Utilice la sustitución $s^2 = v^2(u^2+1)$

$$ f_{U}(u)= \frac{1}{\pi(u^2+1)}\int_{0}^{\infty}s\exp[-s^2/2]ds=\frac{1}{\pi(u^2+1)}.$$