Número de valores distintos

Question

Pregunta: Cuántos valores posibles de (a, b, c, d), con a, b, c, d reales, hay tales que abc = d, bcd = a, cda = b y dab = c?

He intentado multiplicar las cuatro ecuaciones para obtener: $$(abcd)^2 = 1$$

No estoy seguro de cómo proceder a partir de ahora. ¿No habrá infinitos valores que satisfagan esta ecuación?

Answer 1

Si una de las variables es $0$ entonces todas lo son...así que una solución es $\{0,0,0,0\}$ .

Excluyamos ahora esa solución. Como señala el OP, multiplicando las ecuaciones se obtiene $$(abcd)^3=abcd\implies (abcd)^2=1$$

Ahora, supongamos que $a\neq \pm 1$ . Observamos que $$abcd=a\times bcd=a\times a=a^2\neq \pm 1$$ que contradice $(abcd)^2=1$ . Así $a$ debe ser $\pm 1$ . Del mismo modo, cada variable debe ser $\pm 1$ . La inspección muestra rápidamente que, o bien los cuatro tienen el mismo signo, o bien tenemos dos de cada, y hemos terminado.

Answer 2

1) Si $abcd = 0$ es decir, si al menos uno entre $a,b,c,d$ es cero, todos son claramente cero. Por lo tanto, hay una solución: $$a=b=c=d=0$$

2) Si $abcd \neq 0$ , dejemos que $A=\ln(|a|), B=\ln(|b|), C=\ln(|c]), D=\ln(|d|).$

Tomando los valores absolutos y luego los logaritmos de las 4 ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema lineal homogéneo $$\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\-1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\\C\\D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}$$

El determinante de la matriz $M$ del sistema es $16 \neq 0$ por lo que el núcleo de $M$ se reduce a $$(A,B,C,D)=(0,0,0,0)=(\ln(1),\ln(1),\ln(1),\ln(1))$$ Por lo tanto

$$|a|=1, |b|=1, |c|=1, |d|=1 \ \ \ (1)$$

Puede que no todas las soluciones de (1) sean soluciones del sistema inicial (porque, al tomar valores absolutos, posiblemente hayamos ampliado el conjunto de soluciones).

Por lo tanto, tenemos que comprobar las 16 combinaciones de signos posibles para $a,b,c$ y $d$ . Haciendo esto, quedan 8 soluciones: $$(a,b,c,d)=(-1, -1, -1, -1), (-1, 1, -1, 1), (-1, 1, 1, -1), (-1, -1, 1, 1), (1, 1, -1, -1), (1, -1, -1, 1) , (1, -1, 1, -1), (1, 1, 1, 1).$$

Answer 3

$$(abcd)^3=abcd \\ \implies (abcd)^2=1\ or, \ abcd=0 \\ \implies abcd=+1,-1,0 $$ Si nos fijamos bien, las condiciones iniciales dicen claramente que no podemos tomar $3$ , $-1$ s o sólo uno $-1$ . de estos, una solución es $(a,b,c,d)=(0,0,0,0)$ y para los demás, es decir, para $abcd=1$ podemos decir , no de pares son $\frac{4!}{2! \times 2!}=6 \ (2--(+1)\ and \ 2--(-1))$ , $(a,b,c,d)=(1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)$ . Por lo tanto, el total $9$ soluciones. $\blacksquare$