informática $\lim_{X \to \infty }((x^3+2x)^\frac{1}{3}-\sqrt{x^2-2x})$

Question

$\lim_{X \to \infty }((x^3+2x)^\frac{1}{3}-\sqrt{x^2-2x})$

¿Alguien tiene una manera elegante de resolverlo? He intentado la regla de L'Hôpital, pero no funcionó. También traté de múltiples por conjugación y fracasó también.

gracias

Answer 1

No sé si es elegante a tus ojos, pero al menos es eficaz.

$$(x^3+2x)^\frac{1}{3}-\sqrt{x^2-2x}=x\left(1+\frac{2}{x^2}\right)^{1/3}-x\left(1-\frac{2}{x}\right)^{1/2}\sim_\infty 1$$ utilizando ese $$(1+x)^\alpha\sim_0 1+\alpha x$$

Answer 2

Tenemos: $$\sqrt[3]{x^3+2x}-x= x\Bigl(\sqrt[3]{1+\frac 2{x^2}}-1\Bigr)\sim \frac 2{3x}\to 0$$ $$\sqrt{x^2-2x}-x= x\Bigl(\sqrt{1-\frac 2x}-1\Bigr)\to -1$$ En consecuencia: $$\sqrt[3]{x^3+2x}-\sqrt{x^2-2x}=(\sqrt[3]{x^3+2x}-x)-(\sqrt{x^2-2x}-x)\to 1$$ .

Answer 3

En puede hacerse por conjugación, pero no es agradable de teclear. Esbozamos el planteamiento. Nos fijamos en $$((x^3+2x)^2)^{1/6} -((x^2-2x)^3)^{1/6}=u-v.$$ Multiplicar arriba y falta abajo por $u^5+u^4v+u^3v^2+u^2v^3+uv^4+v^5$ .

En la parte superior tenemos $u^6-v^6$ un polinomio con término principal $6x^5$ . En la parte inferior, obtenemos $6$ términos cada uno de los cuales se comporta asintóticamente como $x^5$ . Dividiendo arriba y abajo por $x^5$ y manipulando un poco nos da límite $1$ .

Observación: Mirar al principio de las expansiones de Taylor es la forma "correcta" de hacer el problema.