¿Cuál es la aproximación para $\prod_{p\leq n^2} p^{2n}$ ?

Question

Tengo 2 preguntas ( $p$ de primera):

1) Sé que

$$\underset{p\leq n}{\prod}p^{\frac{1}{p-1}}\sim n$$

¿Significa eso que

$$\underset{p\leq n^2}{\prod}p^{\frac{1}{p-1}}\sim n^2$$ ?

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2) ¿Cuál es la aproximación para

$$\prod_{p\leq n^2} p^{2n}$$ ?

Gracias.

Answer 1

Para la primera pregunta, si $f(n)\sim n$ puis $f(n^2)\sim n^2.$

Para el segundo, $$ \prod_{p\le x}p=e^{x+o(1)} $$ así que $$ \prod_{p\le n^2}p^{2n}=\left(\prod_{p\le n^2}p\right)^{2n}=\left(e^{n^2+o(1)}\right)^{2n}=e^{2n^3+o(n)}. $$