Relación del espectro

Question

Sea $X$ denota un complejo $C^*$ -y $\{Z(t)\}_{t\geq 0}$ est un $C_0$ -Semigrupo de operadores sobre $X$ . Si por $x\in X$ Tengo $x=x^*$ (x es autoadjunto), y su espectro $\sigma(x)\subset [0,\infty)$ .

Entonces, ¿en qué condiciones $[Z^*(t)]=[Z(t)]$ y $\sigma(Z(t)x)\subset [0,\infty)$ . ??

Answer 1

Aparte de que no entiendo algunas partes de su pregunta, los elementos de autoadjudicación con espectro positivo definen un cono positivo en su $C^\ast$ álgebra. Semigrupos que preservan la positividad en $C^\ast$ y las álgebras de von Neumann, debería consultar el capítulo escrito por Ulrich Groh en el libro

W. Arendt, A. Grabosch, G. Greiner, U. Groh, H. Lotz, U. Moustakas, R. Nagel (ed.), F. Neubrander, U. Schlotterbeck Semigrupos uniparamétricos de operadores positivos Springer, 1986.