Quiero reunir datos y preguntas relacionados con las generalizaciones 3D de permutaciones, correspondencia RSK, tablas de contingencia, etc. Una de las razones por las que me interesa esto es porque está potencialmente con los coeficientes de Kronecker. Véase, por ejemplo, la introducción de mi artículo Coeficientes de Kronecker para una forma de gancho (en el tercer párrafo siguiente se explica la conexión entre esta introducción y las matrices de permutación 3D). Además (gracias a Alex Yong por señalarlo; se trata de un ejercicio $7.78f$ en Stanley EC2)
$$ \prod_{i,j,k}\frac{1}{1-x_{i}y_{j}z_{k}}=\sum_{\lambda,\mu,\nu}g_{\lambda\mu\nu}s_{\lambda}(\mathbf{x})s_{\mu}(\mathbf{y})s_{\nu}(\mathbf{z}), $$ donde $g_{\lambda\mu\nu}$ denota el coeficiente de Kronecker. Este sugiere que debemos buscar una generalización en 3D de la correspondencia RSK que tome como entrada una matriz 3D con entradas enteras no negativas y tres tablas de Young semistándar de formas $\lambda,$ $\mu$ y $\nu$ y algún objeto que sea uno de $g_{\lambda\mu\nu}$ muchos objetos que dan una fórmula combinatoria para este coeficiente de Kronecker.
Fijemos alguna notación para particiones de dimensiones superiores y matrices de permutación. A partición d-dimensional de $n$ se define como un mapa desde $\mathbb Z^d_{>0}$ a $\mathbb Z_{\ge 0}$ tal que es débilmente decreciente en todas las direcciones y la suma de todas sus entradas es igual a $n$ . Con esta convención, una partición ordinaria de $n$ es una partición unidimensional y una partición plana es una partición bidimensional. A menudo me gusta pensar en las particiones ordinarias como objetos bidimensionales, así que para conseguirlo sin cambiar ninguna definición establecida, definamos a diagrama d-dimensional sea un ideal de orden inferior en el poseto $\mathbb Z^d_{>0}$ . Entonces $d$ -pueden identificarse con $(d-1)$ -particiones dimensionales.
Existen al menos dos definiciones posibles de una matriz de permutación 3D. Podemos exigir que en cada línea haya exactamente un 1 y el resto 0's. Esto es lo mismo que un cuadrado latino. También podemos exigir que en cada plano haya exactamente un 1 y el resto 0. Con esta última definición, las matrices de permutación 3D están en biyección $(\sigma,\pi)$ $\in$ $\mathcal S_{n}$ $\times\mathcal{{S}}_{n}$ entonces el $n\times n \times n$ Matriz 3D con un 1 en las posiciones $(i, \sigma_i, \pi_i)$ , $i \in [n]$ y 0 en el resto es una matriz de permutación 3D. Además, dada tal matriz de permutación 3D, podemos tomar sumas a lo largo de líneas en tres direcciones posibles para obtener tres matrices de permutación; una de estas matrices de permutación es el producto de las otras dos (quizás con algunas inversas). Los pares de permutaciones y sus productos están posiblemente relacionados con los coeficientes de Kronecker, como se comenta en la introducción de mi artículo antes mencionado.
He aquí algunos proyectos relacionados con generalizaciones de dimensión superior relacionadas con particiones y tableaux. Espero que la gente se sume a esta lista y proporcione enlaces a trabajos que investiguen cosas relacionadas. También sería interesante conocer cualquier conexión entre estos diferentes proyectos (se aceptan respuestas especulativas).
-
Estudio del problema de la subsecuencia creciente más larga para pares de permutaciones. En concreto, sea $\mathcal S_n\times\mathcal S_n$ denote el conjunto de pares de permutaciones. En $(\sigma,\pi)\in\mathcal S_n\times\mathcal S_n$ deje $pos(\sigma,\pi)$ denota el poset en $[n]$ en el que $i$ es inferior a $j$ sólo si $i$ $< j$ para el pedido habitual en $[n]$ y $\sigma(i)<\sigma(j)$ y $\pi(i)<\pi(j)$ . Y que $sh(\sigma,\pi)$ denota el invariante de Greene del poset $pos(\sigma,\pi)$ . Así la longitud de la primera parte de la forma $sh(\sigma,\pi)$ es la longitud de la cadena más larga en este poset (nos referimos a las cadenas en este poset como subsecuencias crecientes de $(\sigma,\pi)$ ). Más En general, es posible asociar un triple de cuadros de registro a $(\sigma,\pi)\in\mathcal S_n\times\mathcal S_n$ . Un se puede estudiar la estadística de la subsecuencia creciente más larga -o la estadística más fina de $sh(\sigma,\pi)$ o este triple de grabación tableaux--sobre todos los pares de permutaciones. Hice algunas simulaciones Monte Carlo y encontré que la longitud esperada de la subsecuencia creciente más larga crece significativamente más rápido que $n^{\frac{1}{3}}$ y un poco más lento que $n^{\frac{1}{2}}$ . Para comparar, la longitud esperada de la subsecuencia de una permutación es igual a $2n^{\frac{1}{2}}$ .
-
Contar tablas de contingencia en 3D: Para una matriz de enteros no negativos, las sumas de filas y columnas dan dos composiciones del mismo número $n$ . Es bien sabido que el número de matrices con sumas de filas $\alpha$ y sumas de columnas $\beta$ es igual a $\langle h_{n},h_{\alpha} * h_{\beta}\rangle$ donde $*$ denota el producto interno de funciones simétricas y $n = |\alpha| = |\beta|$ . Una matriz 3D entera no negativa puede en planos en tres direcciones. Para cada dirección, tomando la suma de todas las entradas en cada plano se obtiene una composición. Se puede demostrar que el número de matrices enteras no negativas 3D no negativas tales que las sumas de los cortes planos vienen dadas por $\alpha,$ $\beta$ y $\gamma$ es igual a $\langle h_{n},h_{\alpha}* h_{\beta}*h_{\gamma}\rangle$ donde $n = |\alpha| = |\beta| = |\gamma|$ .
-
Contar particiones tridimensionales (= diagramas de 4 dimensiones). También se denominan particiones sólidas y se sabe que este problema es difícil. Véase Recuento de particiones sólidas . Si alguien conoce algún trabajo reciente sobre este problema que no se mencione en el enlace, le rogamos que nos lo comunique.
-
Contando $d$ -de Young estándar. Definir a $d$ -SYT sea una ordenación lineal de a $d$ -diagrama dimensional. ¿Cuántos $d$ -¿SYT hay de una forma determinada?
