Simetría radial

Question

Este es un teorema completo y una prueba copiada de PDE Evans, 2ª edición, páginas 558-559. Mis dos preguntas sobre dos partes de la prueba están en la parte inferior de este post.

TEOREMA 2 (Simetría radial) . Sea $u \in C^2(\bar{U})$ satisfacer $\text{(2)}$ , $\text{(3)}$ . Entonces $U$ es radial; es decir, $$u(x)=v(r) \quad (r=|x|)$$ para alguna función estrictamente decreciente $v : [0,1] \to [0,\infty)$ .

Tenga en cuenta que $(2)$ y $(3)$ puede consultarse en las páginas 555-556 o aquí en mi pregunta anterior .

Prueba. 1. Consideramos para cada $0 \le \lambda < 1$ la declaración $$u(x) < u(x_\lambda) \text{ for each point } x \in E_\lambda. \tag{$ 15_\lambda $}$$

$\quad$ 2. Según el Lemma 2, $(15_\lambda)$ es válido para cada $\lambda < 1$ , $\lambda$ suficientemente cerca de $1$ . Establecer $$\lambda_0 := \inf\{0 \le \lambda < 1 \mid (15_\mu) \text{ holds for each }\lambda \le \mu < 1\}. \tag{16}$$ Probaremos $$\lambda_0 = 0. \tag{17}$$ Supongamos que $\lambda_0 > 0$ . Escriba a $w(x) := u(x_{\lambda_0})-u(x)$ $(x \in E_{\lambda_0})$ . Entonces $$-\Delta w = f(x_{\lambda_0})-f(u(x))=-cw \quad \text{in }E_{\lambda_0},$$ para $c(x) := -\int_0^1 f'(su(x_{\lambda_0})+(1-s)u(x)) \, ds$ . En $w \ge 0$ en $E_{\lambda_0}$ deducimos del Lemma 1 (aplicado a $V =E_{\lambda_0}$ ) que $w > 0$ en $E_{\lambda_0}$ , $w_{x_n} > 0$ en $P_{\lambda_0} \cap U$ . Así $$u(x) < u(x_{\lambda_0}) \quad \text{in } E_{\lambda_0}, \tag{18}$$ y $$u_{x_n} < 0 \quad \text{on } P_{\lambda_0} \cap U. \tag{19}$$ Utilizando $(18)$ , $(19)$ y el Lemma 2, concluimos $$u(x) < u(x_{\lambda_0-\epsilon}) \quad \text{in }E_{\lambda_0-\epsilon} \text{ for all }0 \le \epsilon \le \epsilon_0, \tag{20}$$ si $\epsilon_0$ es lo suficientemente pequeño. Afirmación $(20)$ contradice nuestra elección $(16)$ de $\lambda_0$ si $\lambda_0 > 0$ .

$\quad$ 3. Puesto que $\lambda = 0$ vemos $u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n) \le u(x_1,\ldots,x_n)$ para todos $x \in U \cap \{x_n > 0\}$ . Un argumento similar en $U \cap \{x_n < 0\}$ muestra $u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n) \le u(x_1,\ldots,x_n)$ para todos $x \in U \cap \{x_n < 0\}$ . Así $u$ es simétrico en el plano $P_0$ y $u_{x_n}=0$ en $P_0$ .

$\quad$ Este argumento se aplica también después de cualquier rotación de los ejes de coordenadas, por lo que se sigue el teorema. $\blacksquare$

Mis preguntas: (Hay dos partes de esta prueba que no entiendo).

1. ¿Por qué $w \ge 0$ en $E_{\lambda_0}$ ? Inicialmente, pensé $u(x) < u(x_{\lambda_0})$ que se extrae de $(15_\lambda)$ (sustituido $\lambda \to \lambda_0)$ para este fin. Sin embargo, resulta que $u(x) < u(x_{\lambda_0})$ es lo que intentábamos demostrar en $(18)$ .

2. Tras establecer $\lambda_0=0$ ¿cómo podemos concluir que $u(x_1,\ldots,x_{n-1}, -x_n) \ge u(x_1,\ldots,x_n)$ en $U \cap \{x_n > 0\}$ ?

Answer 1

1. Sus ideas iniciales son correctas. Deje que $\{\lambda_n\}$ sea una secuencia minimizadora en $(16)$ convergiendo hacia $\lambda_0$ . Entonces $x_{\lambda_n} \to x_{\lambda_0}$ mientras que $E_{\lambda_0} = \bigcup_{n = 1}^{\infty}E_{\lambda_n}$ con $E_{\lambda_n} \subset E_{\lambda_{n+1}}$ . Además, $u(x) < u(x_{\lambda_n})$ para cada $x \in E_{\lambda_n}$ .

   Ahora dejemos que $x \in E_{\lambda_0}$ . Luego está $N$ para lo cual $x \in E_{\lambda_n}$ para todos $n \geq N$ . Esto implica, en particular, que $u(x) < u(x_{\lambda_n})$ para todos $n \geq N$ . En $u$ es continua encontramos al tomar el límite que $u(x) \leq u(x_{\lambda_0})$ . Así $w \geq 0$ en $E_{\lambda_0}$ . Ecuación de la nota $(18)$ es una mejora, en la que eliminamos la posibilidad de igualdad: $w > 0$ .

2. Ya sabemos que $u(x) \leq u(x_{\lambda_0})$ para todos $x = (x_1,\ldots,x_n)$ perteneciente a $E_{\lambda_0} = \{x \in U\,:\, 0 < \lambda < 1\} = U \cap \{x_n > 0\}$ donde $x_{\lambda_0} = (x_1,\ldots,x_{n-1}, 2\lambda_0 - x_n)$ .

   (Recordemos la igualdad para $E_{\lambda_0}$ porque en esta sección Evans denota $U$ como la bola abierta de radio $1$ .)

   Por lo tanto, con $\lambda_0 = 0$ esto implica que $u(x_1,\ldots, x_n) \leq u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n)$ para todos $x \in U \cap\{x_n > 0\}$ .