ángulo entre dos vectores cuando uno de ellos es cero

Question

Estoy tratando de encontrar el ángulo entre dos vectores . Conozco la teoría. Si u y v son dos vectores, entonces el ángulo entre estos dos vectores se define como el siguiente teorema:

$$\theta=\arccos\left(\frac{\operatorname{Re}(u\cdot v)}{\|u\|\|v\|}\right)$$

donde el producto interior uvuv se define como

$$u\cdot v=\sum_{k=0}^{n-1} u_k\overline{v_k}$$

Pero cuando uno de los dos vectores es cero, ¿cuál será el ángulo entre los dos vectores? Supongamos que será el ángulo de los dos vectores siguientes :

$$\vec{u} = 5\hat{i} + 2\hat{j}+3\hat{k}$$ $$\vec{v} = 0\hat{i} + 0\hat{j}+0\hat{k}$$

No puedo averiguar el ángulo entre estos dos vectores . Por favor, ayúdame.

Answer 1

Cuando uno de los dos vectores es $0$ el ángulo entre ellos no está definido.

Una forma de verlo es que el vector cero no tiene realmente una "dirección". Si un vector $v$ es distinto de cero, entonces la dirección de ese vector puede, en cierto sentido, representarse por el vector $\frac{v}{\|v\|}$ et $\frac{0}{\|0\|}$ no está definido. Y puesto que el ángulo entre dos vectores es en realidad el ángulo entre sus direcciones, tiene sentido que no puedas conectar un $0$ vector en la ecuación.

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Sin embargo, todavía se puede decir que los vectores son ortogonales, porque su producto punto es $0$ - el vector cero, por tanto, es ortogonal a cualquier otro vector (incluido él mismo).