En un artículo sobre física ( aquí ) He encontrado esta variante de la función de Bessel del primer tipo.
$$ \tag{1} Z(g) ~=~ \frac{1}{\sqrt{g}} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{1}{2g} \sin^2 x} \, dx = \frac{\pi}{\sqrt{g}}e^{-\frac{1}{4g}}I_0(\tfrac{1}{4g}). $$
Más adelante en el documento proporcionan una "expansión en torno a 0" que me cuesta entender:
\begin{eqnarray*} Z(g)|_{y=0} &=& \int_{-\frac{\pi}{2\sqrt{g}}}^{\frac{\pi}{2\sqrt{g}}} e^{-\tfrac{1}{2g} \sin^2 (y g^{1/2})} \, dy \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2\sqrt{g}}}^{\frac{\pi}{2\sqrt{g}}} \bigg[ e^{-\tfrac{y^2}{2}} + \frac{1}{6}y^2 e^{-\tfrac{y^2}{2}} + \dots \bigg] dy \\ &=&\tag{5} \sqrt{2\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+\tfrac{1}{2})^2 }{\Gamma(k+1) \Gamma(\tfrac{1}{2})^2} (2g)^k. \end{eqnarray*}
Los momentos de la gaussiana se conocen por Fórmula mecha . No estoy seguro de cómo obtiene todos los coeficientes en esta expansión.
Un posible punto de partida es que $\sin x \approx x$ para $x\ll 1$ para que
$$ \frac{1}{2g} \sin^2 (y g^{1/2}) \approx \frac{y^2}{2} \left(\frac{\sin (y g^{1/2})}{y g^{1/2}} \right)^2 \approx \frac{y^2}{2} \left(1 - \frac{g y^2 }{3!} + \dots \right)^2 $$
Luego tenemos que tomar el exponente de esto e integrar, así que no estoy seguro de cómo calcularon todos los términos.
