Supongamos que tenemos un problema
$$ \min_x \max_y f(x, y) \ \ \text{ s.t. } \ g(x, y) = 0$$
Me pregunto si es posible incorporar esta restricción a un objetivo de tipo lagrangiano:
$$ \min_{x} \max_{y, \lambda} \min_{\eta} f(x, y) + \eta \cdot \lambda \cdot g(x,y) $$
pero mis intentos de conseguir tal expresión fracasaron hasta ahora. Por ejemplo, si consideramos $h(x,y,\lambda) = \min_{\eta} f(x, y) + \eta\lambda g(x,y)$ ya toma el $-\infty$ para todos los valores de $(x, y, \lambda)$ tal que $g(x, y) \neq 0$ incluyendo $\lambda = \pm \infty $ por lo que no hay razón para $\min_x$ no elegir un $x$ s.t. $g(x,y)\neq0$ .
No es de extrañar ya que estaba tratando de obtener algún término característico $ f(x, y) + \chi(g)(x, y)$ que no sería "favorable" ni a la minimización ni a la maximización, por lo que no debería ser una de $\pm \infty$ .
Si las restricciones no son conjuntas, es decir $g(x)=0$ y $k(y)=0$ entonces añadir dos términos multiplicadores parece funcionar $p(x,y,\lambda,\eta) = \max_\eta \min_\lambda f(x, y) + \eta \cdot g(x) + \lambda \cdot k(y)$ es igual a $+\infty$ si $k(y) \neq 0$ y $-\infty$ si $g(x)\neq 0$ y $\infty$ si ambos no se cumplen (lo cual es raro, pero razonable). Pero este no es el caso que me interesa.
