Es posible resolver esta ecuación con la mano?

Question

Estoy trabajando en una tarea de física, y la redujo a la siguiente ecuación para $y$: $$\frac{1}{4y^3}-\frac{2}{(y^2+b^2)^{\frac{3}{2}}}=0$$ Se la entregué a Mathematica, y me dio dos soluciones reales, $$y_{1,2} = \pm\frac{b}{\sqrt{3}},$$ junto con algunos de los más complejos. Mi pregunta es, ¿cómo puedo ver esto? Quiero decir, ¿cómo puedo resolver esta ecuación con la mano? Traté de mover cosas de todo un poco, pero todo lo que encontró fue una sextic ecuación, que yo realmente no tenía ganas de acercarse. ¿Hay alguna forma más fácil? No es menor la molestia, si sólo es real para poder encontrar soluciones?

Answer 1

En primer lugar, deshacerse de los denominadores,

$$\begin{align} \frac{1}{4y^3} - \frac{2}{(y^2+b^2)^{3/2}} &= 0\\ \iff \frac{1}{4y^3} &= \frac{2}{(y^2+b^2)^{3/2}}\\ \iff (y^2+b^2)^{3/2} &= 8y^3. \end{align}$$

A continuación, subir a la $2/3$-ésima potencia para simplificar, la introducción de un tercio de la raíz de la unidad,

$$\begin{align} y^2 + b^2 &= 4\rho y^2\\ \iff b^2 &= (4\rho-1)y^2\\ \iff y &= \pm \frac{b}{\sqrt{4\rho-1}}. \end{align}$$

La elección de $\rho = 1$ como la tercera raíz de la unidad de los rendimientos de las dos soluciones reales. $\rho = e^{\pm 2\pi i/3}$ rendimientos no soluciones reales.

Answer 2

Sugerencia

Reorganizar los términos, de modo que usted puede obtener $$ 8y^3 - \left( \sqrt{y^2+b^2} \right )^3 = 0 $$ Ahora, utilice el hecho de que $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ $$ \left( 2y - \sqrt{y^2+b^2} \right )\left( 4y^2 + 2y \sqrt{y^2+b^2} + y^2 + b^2\right ) = 0 $$ Se puede tomar desde aquí?

Answer 3

Deje $x^2=y^2+b^2$. A continuación, $x=\pm2y$ y encontrar el resultado