¿Es demostrable en ZF la siguiente afirmación?
Supongamos que $A_1$ y $A_2$ son dos conjuntos infinitos. Si $A_1$ es equinumérico con $B_1$ y $A_2$ es equinumérico con $B_2$ entonces $A_1 \cup A_2$ es equinumérico con $B_1 \cup B_2$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Suponiendo que la unión sea disjunta, esto es fácil, ya que la unión de las biyecciones es a su vez una biyección.
Si no es así, entonces es fácil ver que si suponemos que $|A_1\cup A_2|=|B_1\cup B_2|$ para dos pares cualesquiera como en su supuesto, entonces tomando $A_1=A_2$ y $B_1=A_1\times\{0\}$ y $B_2=A_1\times\{1\}$ obtenemos que $|A_1|=|A_1\times 2|=|A_1|+|A_1|$ .
Esto no se deduce de $\sf ZF$ por ejemplo, si hay infinitos conjuntos Dedekind-finitos eso es fácil, e incluso si suponemos que $\sf DC$ o sus versiones incontables, todavía puede haber contraejemplos a este principio, por ejemplo, conjuntos que son $\aleph_1$ -amorfo puede existir incluso si asumimos $\sf DC$ .
Por otra parte, suponiendo $|A|=|A\times 2|$ para cualquier conjunto infinito $A$ obtenemos que $|A_1\cup A_2|=|A_1\times\{0\}\cup A_2\times\{1\}|$ , ya que tenemos:
$$|A_1\cup A_2|=|(A_1\cup A_2)\times 2|\geq|A_1\times\{0\}\cup A_2\times\{1\}|\geq|A_1\cup A_2|.$$
Lo que significa que cada unión puede sustituirse por una unión disjunta, y por lo tanto se produce la igualdad. Por último, Sageev demostró que $|A|=|A\times 2|$ para todo infinito $A$ no implica el axioma de elección, de hecho, ni siquiera el axioma de elección contable.
