Identificar el comportamiento límite para $f(x)=\frac{1}{\cosh x}+\log \left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right)$ para $x \to \pm \infty$ . Demuestre que $f(x) \ge 0$

Question

¿No estoy seguro de lo que significa identificar el comportamiento límite? Si significa "sólo" encontrar el límite, entonces no tengo ni idea. La función es muy complicada.

Además, no puedo usar derivadas para demostrar que $f(x) \ge 0$ . Así que no estoy seguro de qué hacer. Creo que sólo se permite la reescritura de la expresión de la función.

Answer 1

Utilizando la desigualdad $\log t\geq \dfrac{t-1}{t}$ para $t>0$ obtenemos $$\log\left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right)\geq\frac{\frac{-1}{1+\cosh x}}{\frac{\cosh x}{1+\cosh x}}=-\frac{1}{1+\cosh x} $$ Por lo tanto, $$f(x)=\frac{1}{1+\cosh x}+\log\left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right)\geq 0$$ En cuanto a los límites, $$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\to\infty\,\,(x\to\pm\infty)$$ Así que $$\frac{1}{\cosh x}\to 0\,\,(x\to\pm\infty)\\ \log\left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right)=\log\left(\frac{1}{\frac{1}{\cosh x}+1}\right)\to\log(1)=0\,\,(x\to\pm\infty) $$ y $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ . También podemos observar que $f$ es una función par, lo que significa que su gráfica es simétrica respecto a la $y$ -Eje.

Answer 2

$$f(x)=\frac{1}{\cosh (x)}+\log \left(\frac{\cosh (x)}{1+\cosh (x)}\right)=\frac{1}{\cosh (x)}-\log \left(1+\frac{1}{\cosh (x)}\right)$$ Desde $x$ es grande, $\cosh(x)$ es grande, por lo que $\cosh(x)=\frac 1 \epsilon$ a cara $$\epsilon-\log(1+\epsilon)=\frac{\epsilon ^2}{2}-\frac{\epsilon ^3}{3}+O\left(\epsilon ^4\right)$$ en
$$f(x)\sim \frac{1}{2}\frac{1}{\cosh^2 (x)}\sim 2e^{-2x}\to 0$$

Answer 3

El comportamiento límite no sólo se refiere a los límites. Más bien, significa la forma de función asintótica de $f(x)=\frac{1}{\cosh x}+\log \left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right)$ en los límites $x \to \pm \infty$ .

Tenga en cuenta que $\text{sech} (x) \to e^{-|x|}$ como $x\to \pm\infty$ y tenemos

$$f(x) = \text{sech} (x )- \ln(1+\text{sech}(x)) $$ $$=e^{-|x|} - (e^{-|x|}-\frac12e^{-2|x|}+O(\frac12e^{-3|x|}))\to \frac12e^{-2|x|}$$

Así, su comportamiento límite es de $f(x)\to \frac12e^{-2|x|}$ como $x\to\pm\infty$ .

Mostrar $f(x) \ge 0$ partimos de la desigualdad $e^y = 1+y +\frac12 y^2 + … \ge 1+y$ para $y\ge0$ . Luego, toma el logaritmo de ambos lados para obtener

$$y\ge \ln(1+y)$$

Sustituir $y = \frac1{\cosh(x)}$ en la desigualdad anterior para obtener

$$f(x) = \frac{1}{\cosh x}-\log \left(1+\frac1{\cosh x}\right)\ge 0$$

Answer 4

Tenemos $\cosh x \to \infty$ para $x\to \pm\infty$ Así pues $^1$ :

$$f(x) =\frac1{\cosh x}+\ln \left(\frac{\cosh x}{1+\cosh x}\right) =z+\ln \frac{1}{1+z} = g(z) $$ con $z=1/\cosh x$ y tenemos que estudiar $g(z)$ para $z\to 0^+$ :

$$\begin{align} z+\ln \frac{1}{1+z} &= z - \ln(1+z)\\ &\stackrel{(1)}\geqslant z-((1+z)-1) = 0\\ \end{align}$$

(1) se deduce de $\ln x \leqslant x-1$ es decir $-\ln x \geqslant -(x-1)$ .

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$^1$ Suponiendo que se denota el logaritmo natural como $\log$ .