Relación entre $\vec x \cdot\vec y$ et $\|\vec y\|^2$

Question

Consideremos un subespacio $\mathsf V$ de $\mathbb R^n$ y un vector $\vec x$ en $\mathbb R^n$ . Sea $\vec y = \operatorname{proj}_{\mathsf V}\vec x$ . ¿Cuál es la relación entre las siguientes cantidades?

Relación entre $\vec x \cdot\vec y$ et $\|\vec y\|^2$

No estoy seguro de a dónde ir con esto

Answer 1

Puesto que podemos escribir $\vec x=\vec x_1+\vec x_2$ para algunos $\vec x_1\in{\sf V}$ y $\vec x_2\in{\sf V}^\perp$ . Así que por la definición de proyección, $\vec y=\operatorname{proj}_{\mathsf V}\vec x=\vec x_1$ y por lo tanto $$\vec x\cdot \vec y=(\vec x_1+\vec x_2)\cdot\vec x_1 =\Vert \vec x_1\Vert^2+\vec x_2\cdot\vec x_1 =\Vert \vec x_1\Vert^2=\Vert \vec y\Vert^2.$$

Answer 2

Por $y = \text{proj}_v x$ tenemos que $$y = \frac{v^T x}{v^Tv}v.$$

Así, $$\langle x,y\rangle=x^T\cdot \dfrac{v^Tx }{\|v\|_2^2}\cdot v= \dfrac{v^Tx}{\|v\|_2^2}\cdot v^Tx= \dfrac{\langle v,x \rangle^2}{\|v\|_2^2},$$ mientras que:

$$\|y\|_2^2= \left|\frac{v^Tx}{v^Tv} \right|^2\cdot \|v\|_2^2= \dfrac{\langle v,x \rangle^2}{\|v\|_2^4}\cdot \|v\|^2_2 =\langle x, y\rangle.$$