Números reales $a$ , $b$ , $c$ et $d$ satisfacen la desigualdad $abcd > a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ . Demostrar que $abcd > a + b + c + d + 8$ .

Question

Números reales $a$ , $b$ , $c$ et $d$ satisfacen la desigualdad $abcd > a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ . Cómo demostrar que $abcd > a + b + c + d + 8$ ? He intentado utilizar la desigualdad AM-GM pero sin resultado. El problema fue tomado de 57-th Belarusian Mathematical Olympiad disponible aquí

Answer 1

Basta con comprobar el caso $a, b, c, d>0$ . Efectivamente, $abcd>0$ por lo que el problema se hace estrictamente más fuerte con la transformación $(a, b, c, d)\to (|a|, |b|, |c|, |d|)$ si alguna de las variables es negativa.

Ahora dejemos que $\frac{a+b+c+d}{4}=t$ . Entonces $t^4\ge abcd>a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4t^2$ debido a AM-GM y Cauchy Schwarz, por lo que $t> 2$ desde $t>0$ . Entonces tenemos: $$abcd>a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4t^2=2t^2+2t^2>4t+8$$

Por lo tanto $abcd>4t+8$ que es exactamente lo que necesitamos mostrar.