Determinante de una matriz no cuadrada

Question

Escribí una respuesta a este pregunta basada en determinantes, pero posteriormente la borró porque el OP está interesado en matrices no cuadradas, lo que efectivamente bloquea el uso de determinantes y por lo tanto socava toda la respuesta. Sin embargo, se puede salvar si existe una función $\det$ definido en todo matrices de valor real (no sólo las cuadradas) que tengan las siguientes propiedades.

1. $\det$ es de valor real
2. $\det$ tiene su valor habitual para las matrices cuadradas
3. $\det(AB)$ siempre es igual a $\det(A)\det(B)$ siempre que el producto $AB$ se define.
4. $\det(A) \neq 0$ si $\det(A^\top) \neq 0$

¿Existe esta función?

Answer 1

Tal función no puede existir. Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Entonces, como ambos $AB$ y $BA$ son cuadrados, si existiera una función $D$ con las propiedades 1-3 declaradas allí mantendría \begin{align} \begin{split} 1 &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \det(BA) = D(BA) = D(B)D(A) \det &= D(A)D(B) = D(AB) = \det(AB) = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0. \Fin \N - fin{alineación}

Answer 2

Esta extensión de los determinantes tiene las 4 propiedades si A es una matriz cuadrada, y conserva algunos atributos de los determinantes en caso contrario.

$$|A|^2=|A^{T}A|$$

Si estás dispuesto a romper un poco las reglas, esto tiene una interpretación geométrica válida y útil. Si tienes un espacio definido en una dimensión superior a la suya, esto todavía puede devolver el área que define.

Como el cuadrado del determinante de una matriz se puede encontrar con la fórmula anterior, y como esta multiplicación está definida para matrices no cuadradas, podemos extender los determinantes a matrices no cuadradas. Por ejemplo, tomemos la matriz A de 3 anchos definida con vectores columna, x y y z, donde cada uno tiene n componentes:

$$A=\begin{pmatrix}x|y|z\end{pmatrix}$$

Se puede puntear cada uno de los vectores entre sí multiplicando A por su transposición:

$$A^{T}A=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cdot x & x\cdot y & x\cdot z\\ x\cdot y & y\cdot y & y\cdot z\\ x\cdot z & y\cdot z & z\cdot z \end{pmatrix}$$

Tomando el determinante de esto, se obtiene el cuadrado del determinante de A: $$2 (x\cdot y) (x\cdot z) (y\cdot z)+(x\cdot x) (y\cdot y) (z\cdot z)-(x\cdot z)^2 (y\cdot y) - (x\cdot x )(y\cdot z)^2 - (x\cdot y)^2 (z\cdot z)$$

En este ejemplo de 3 vectores, la ecuación anterior devuelve el valor del volumen definido por los vectores x y y z.

Se puede tomar la raíz cuadrada positiva de ésta como el valor absoluto del determinante. Siempre es positivo porque no tiene sentido definir áreas positivas y negativas para espacios definidos en dimensiones superiores al propio espacio. Dependiendo de la perspectiva, un área positiva puede convertirse en un área negativa si se mira desde atrás.

Answer 3

El producto de todos los valores singulares no nulos satisface la mayoría de las propiedades que buscas, con la excepción de la 3. Calculará el hipervolumen del espacio abarcado por la matriz.